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東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2023年8月実施 専門基礎科目 1.1 微分積分

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Author​

犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description​

以下の問に答えよ。すべての定数と変数は実数、関数は実関数とする。ee は自然対数の底である。関数 g(x)g(x) の一階微分と二階微分を g′(x),g′′(x)g'(x),g''(x) と表す。導出の過程を省略し、答えのみ示せ。（40分）

問1​

関数 f(x)f(x) に関する以下の微分方程式の解を、与えられた初期条件の下で求めよ。

(1) f′′−8f′+16f=0,f(0)=1, f′(0)=3f''-8f'+16f=0,\quad f(0)=1,\ f'(0)=3。

(2) f′′+4f′+13f=0,f(0)=1, f′(0)=0f''+4f'+13f=0,\quad f(0)=1,\ f'(0)=0。

(3) f′′+4f′+13f=40sin⁡x,f(0)=0, f′(0)=4f''+4f'+13f=40\sin x,\quad f(0)=0,\ f'(0)=4。

問2​

xyzxyz 直交座標系において z=xe−x2−y2z=xe^{-x^2-y^2} で表される曲面 CC を考える。

(1) 曲面 CC 上の点 A(x0,y0,z0)A(x_0,y_0,z_0) において zz は最大値 z0z_0 をとる。x0,y0,z0x_0,y_0,z_0 を求めよ。

(2) 曲面 CC 上の点 B(1,1,z1)B(1,1,z_1) を考える。z1z_1 と BB における接平面の方程式を求めよ。

問3​

xyxy 直交座標系において領域 R={(x,y)∣x2+y2≤1, x≥0, y≥0}R=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1,\ x\ge0,\ y\ge0\} を定義する。

(1) ∬Rx2y2 dx dy\iint_R x^2y^2\,dx\,dy を求めよ。

(2) ∬R(x+y)2 dx dy\iint_R(x+y)^2\,dx\,dy を求めよ。

問4​

エルミート多項式 Hn(x)H_n(x) は

Hn(x)=(−1)nex2dndxne−x2H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2}

で定義される。nn は非負整数であり、H0(x)=1H_0(x)=1 である。これらの多項式は

Hn′′(x)−2xHn′(x)+2nHn(x)=0H_n''(x)-2xH_n'(x)+2nH_n(x)=0

を満たす。また、非負整数 mm に対して

∫−∞∞Hm(x)Hn(x)e−x2 dx=π 2nn!δm,n\int_{-\infty}^{\infty}H_m(x)H_n(x)e^{-x^2}\,dx =\sqrt\pi\,2^nn!\delta_{m,n}

が成り立つ。δm,n\delta_{m,n} は m=nm=n で 11、それ以外で 00 となるクロネッカーのデルタであり、0!=10!=1 とする。

(1) H1(x)H_1(x) を xx の多項式で表せ。

(2) Hn(x)H_n(x) を微分し、Hn+1(x)H_{n+1}(x) を x,Hn(x),Hn′(x)x,H_n(x),H_n'(x) を用いて表せ。

(3) n≥1n\ge1 に対して Hn′(x)H_n'(x) を n,Hn−1(x)n,H_{n-1}(x) を用いて表せ。

(4) n≥1n\ge1 に対して Hn+1(x)H_{n+1}(x) を x,n,Hn(x),Hn−1(x)x,n,H_n(x),H_{n-1}(x) を用いて表せ。

(5) n≥1n\ge1 に対して ∫−∞∞xHm(x)Hn(x)e−x2 dx\int_{-\infty}^{\infty}xH_m(x)H_n(x)e^{-x^2}\,dx を計算せよ。

题目描述​

所有常数、变量均为实数，函数均为实函数。ee 为自然对数的底；g′,g′′g',g'' 分别表示一阶、二阶导数。省略推导，只写答案。（40分钟）

问1　在给定初始条件下解微分方程：

(1) f′′−8f′+16f=0, f(0)=1, f′(0)=3f''-8f'+16f=0,\ f(0)=1,\ f'(0)=3；

(2) f′′+4f′+13f=0, f(0)=1, f′(0)=0f''+4f'+13f=0,\ f(0)=1,\ f'(0)=0；

(3) f′′+4f′+13f=40sin⁡x, f(0)=0, f′(0)=4f''+4f'+13f=40\sin x,\ f(0)=0,\ f'(0)=4。

问2　曲面 CC 由 z=xe−x2−y2z=xe^{-x^2-y^2} 定义。(1) 求使 zz 达到最大值的点 A(x0,y0,z0)A(x_0,y_0,z_0)；(2) 对曲面上的点 B(1,1,z1)B(1,1,z_1)，求 z1z_1 和该点处的切平面方程。

问3　设 R={(x,y)∣x2+y2≤1, x,y≥0}R=\{(x,y)\mid x^2+y^2\le1,\ x,y\ge0\}。求 (1) ∬Rx2y2 dx dy\iint_Rx^2y^2\,dx\,dy；(2) ∬R(x+y)2 dx dy\iint_R(x+y)^2\,dx\,dy。

问4　Hermite 多项式定义为

Hn(x)=(−1)nex2dndxne−x2,n≥0,H0=1.H_n(x)=(-1)^ne^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}e^{-x^2},\qquad n\ge0,\quad H_0=1.

已知

Hn′′−2xHn′+2nHn=0,∫−∞∞HmHne−x2 dx=π 2nn!δm,n.H_n''-2xH_n'+2nH_n=0,\qquad \int_{-\infty}^{\infty}H_mH_ne^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi\,2^nn!\delta_{m,n}.

这里 mm 为非负整数，δm,n\delta_{m,n} 在 m=nm=n 时为 11，否则为 00，且 0!=10!=1。

(1) 求 H1H_1；(2) 通过微分，将 Hn+1H_{n+1} 用 x,Hn,Hn′x,H_n,H_n' 表示；(3) 当 n≥1n\ge1 时，将 Hn′H_n' 用 n,Hn−1n,H_{n-1} 表示；(4) 当 n≥1n\ge1 时，将 Hn+1H_{n+1} 用 x,n,Hn,Hn−1x,n,H_n,H_{n-1} 表示；(5) 当 n≥1n\ge1 时，求 ∫−∞∞xHmHne−x2 dx\int_{-\infty}^{\infty}xH_mH_ne^{-x^2}\,dx。

Kai​

問1​

(1)f(x)=(1−x)e4x,(2)f(x)=e−2x(cos⁡3x+23sin⁡3x),(3)f(x)=e−2x(cos⁡3x+sin⁡3x)+3sin⁡x−cos⁡x.\begin{aligned} \text{(1)}\quad &f(x)=(1-x)e^{4x},\\ \text{(2)}\quad &f(x)=e^{-2x}\left(\cos3x+\frac23\sin3x\right),\\ \text{(3)}\quad &f(x)=e^{-2x}(\cos3x+\sin3x)+3\sin x-\cos x. \end{aligned}

問2​

(1)(x0,y0,z0)=(12,0,12e).\text{(1)}\quad (x_0,y_0,z_0)=\left(\frac1{\sqrt2},0,\frac1{\sqrt{2e}}\right).
(2)z1=e−2,x+2y+e2z=4.\text{(2)}\quad z_1=e^{-2},\qquad x+2y+e^2z=4.

問3​

(1)π96,(2)π+28.\text{(1)}\quad \frac{\pi}{96},\qquad \text{(2)}\quad \frac{\pi+2}{8}.

問4​

(1)H1(x)=2x,(2)Hn+1(x)=2xHn(x)−Hn′(x),(3)Hn′(x)=2nHn−1(x),(4)Hn+1(x)=2xHn(x)−2nHn−1(x).\begin{aligned} \text{(1)}\quad&H_1(x)=2x,\\ \text{(2)}\quad&H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-H_n'(x),\\ \text{(3)}\quad&H_n'(x)=2nH_{n-1}(x),\\ \text{(4)}\quad&H_{n+1}(x)=2xH_n(x)-2nH_{n-1}(x). \end{aligned}
(5)∫−∞∞xHm(x)Hn(x)e−x2 dx=π[2n(n+1)!δm,n+1+2n−1n!δm,n−1].\text{(5)}\quad \int_{-\infty}^{\infty}xH_m(x)H_n(x)e^{-x^2}\,dx =\sqrt\pi\left[2^n(n+1)!\delta_{m,n+1} +2^{n-1}n!\delta_{m,n-1}\right].
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