東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2022年8月実施 専門基礎科目 3.2 確率・統計

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Author

之遥, 祭音Myyura

Description

問1

$X_1, X_2$ を互いに独立で、共に区間 $[0,1]$ 上の連続一様分布に従う確率変数とする。以下の問に答えよ。導出の過程は省き、答えのみ記すこと。

(1) $X_1$ の期待値 $E[X_1]$ と分散 $V[X_1]$ を求めよ。

(2) $X$ を $X_1, X_2$ の最大値とする。確率 $\Pr \big( X \geq \frac{1}{3}\big)$ を求めよ。

問2

$Y_1$ を区間 $[0,1]$ 上の連続一様分布に従う確率変数とする。$Y_2$ を $Y_1$ を条件とした以下の条件付き確率密度関数に従う確率変数とする。

$$f_{Y_2|Y_1}(y_2|y_1) = \frac{1}{2} e^{-|y_2 - y_1|} \quad (-\infty < y_2 < \infty)$$

ここで、 $|y_2 - y_1|$ は $y_2 - y_1$ の絶対値を、 $e$ は自然対数の底を表す。以下の問に答えよ。導出の過程は省き、答えのみ記すこと。

(1) $Y_2$ の周辺確率密度関数 $f_{Y_2}(y_2)$ を求めよ。

(2) 確率 $\Pr (Y_2 \geq 0)$ を求めよ。

問3

$\{ Z_1, Z_2, \ldots, Z_n \}$ を区間 $[0, \theta]$ 上の連続一様分布からの大きさ $n$ の無作為標本とする。ここで、$\theta$ は正のパラメータである。$\hat{\theta} = \frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} Z_i$ を $\theta$ の推定量とする。以下の問に答えよ。

答えに加えて導出の過程も記すこと。

(1) $\hat{\theta}$ は $\theta$ の不偏推定量であることを示せ。

(2) $\hat{\theta}$ の分散 $V[\hat{\theta}]$ を求めよ。

(3) $n = 2$ のとき、 $\hat{\theta}$ の確率密度関数を求めよ。

题目描述

1. 令 $X_1,X_2$ 相互独立且均服从 $[0,1]$ 上连续均匀分布。本组省略推导、只写答案：
   1. 求 $E[X_1]$ 与 $V[X_1]$；
   2. 令 $X=\max(X_1,X_2)$，求

$$P(X\ge\tfrac13).$$

2. 令 $Y_1\sim U[0,1]$，并给定 $Y_2$ 在 $Y_1=y_1$ 条件下的密度

$$f_{Y_2\mid Y_1}(y_2\mid y_1) =\frac12e^{-|y_2-y_1|} \qquad(-\infty<y_2<\infty).$$

本组也只写答案：

1. 求 $Y_2$ 的边缘密度 $f_{Y_2}(y_2)$，需按 $y_2<0$、$0\le y_2\le1$、$y_2>1$ 分段；
2. 求 $P(Y_2\ge0)$。
3. 令 $Z_1,\ldots,Z_n$ 是 $U[0,\theta]$（$\theta>0$）的随机样本，定义

$$\hat\theta=\frac2n\sum_{i=1}^{n}Z_i.$$

本组须给出答案与推导：

1. 证明 $\hat\theta$ 是 $\theta$ 的无偏估计；
2. 求 $V[\hat\theta]$；
3. 当 $n=2$ 时求 $\hat\theta$ 的概率密度函数。

Kai

問1

(1) $\boxed{E[X_1]=1/2,\quad V[X_1]=1/12}$。

(2) $\boxed{\Pr(X\ge1/3)=8/9}$。

問2

(1)

$$\boxed{f_{Y_2}(y)=\begin{cases} \frac12(1-e^{-1})e^y,&y<0,\\ 1-\frac12\left(e^{-y}+e^{y-1}\right),&0\le y\le1,\\ \frac12(e-1)e^{-y},&y>1. \end{cases}}$$

(2)

$$\boxed{\Pr(Y_2\ge0)=\frac12+\frac1{2e}}.$$

問3

(1) $E[Z_i]=\theta/2$ より、

$$E[\widehat\theta]=\frac2n\sum_{i=1}^nE[Z_i]=\theta.$$

したがって $\widehat\theta$ は不偏推定量である。

(2) 独立性と $V[Z_i]=\theta^2/12$ より、

$$\boxed{V[\widehat\theta]=\frac4{n^2}\sum_{i=1}^nV[Z_i]=\frac{\theta^2}{3n}.}$$

(3) $n=2$ では $\widehat\theta=Z_1+Z_2$。密度の畳み込みは、区間 $[0,\theta]$ と $[x-\theta,x]$ の重なりの長さを $\theta^2$ で割ったものである。したがって

$$\boxed{f_{\widehat\theta}(x)=\begin{cases} x/\theta^2,&0\le x\le\theta,\\ (2\theta-x)/\theta^2,&\theta<x\le2\theta,\\ 0,&\text{それ以外}. \end{cases}}$$