東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2022年8月実施 専門基礎科目 3.2 確率・統計

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之遥

Description

問1

$X_1, X_2$ を互いに独立で、共に区間 $[0,1]$ 上の連続一様分布に従う確率変数とする。以下の問に答えよ。導出の過程は省き、答えのみ記すこと。

(1) $X_1$ の期待値 $E[X_1]$ と分散 $V[X_1]$ を求めよ。

(2) $X$ を $X_1, X_2$ の最大値とする。確率 $\Pr \big( X \geq \frac{1}{3}\big)$ を求めよ。

問2

$Y_1$ を区間 $[0,1]$ 上の連続一様分布に従う確率変数とする。$Y_2$ を $Y_1$ を条件とした以下の条件付き確率密度関数に従う確率変数とする。

$$f_{Y_2|Y_1}(y_2|y_1) = \frac{1}{2} e^{-|y_2 - y_1|} \quad (-\infty < y_2 < \infty)$$

ここで、 $|y_2 - y_1|$ は $y_2 - y_1$ の絶対値を、 $e$ は自然対数の底を表す。以下の問に答えよ。導出の過程は省き、答えのみ記すこと。

(1) $Y_2$ の周辺確率密度関数 $f_{Y_2}(y_2)$ を求めよ。

(2) 確率 $\Pr (Y_2 \geq 0)$ を求めよ。

問3

$\{ Z_1, Z_2, \ldots, Z_n \}$ を区間 $[0, \theta]$ 上の連続一様分布からの大きさ $n$ の無作為標本とする。ここで、$\theta$ は正のパラメータである。$\hat{\theta} = \frac{2}{n} \sum_{i=1}^{n} Z_i$ を $\theta$ の推定量とする。以下の問に答えよ。

答えに加えて導出の過程も記すこと。

(1) $\hat{\theta}$ は $\theta$ の不偏推定量であることを示せ。

(2) $\hat{\theta}$ の分散 $V[\hat{\theta}]$ を求めよ。

(3) $n = 2$ のとき、 $\hat{\theta}$ の確率密度関数を求めよ。

题目描述

1. 令 $X_1,X_2$ 相互独立且均服从 $[0,1]$ 上连续均匀分布。本组省略推导、只写答案：
   1. 求 $E[X_1]$ 与 $V[X_1]$；
   2. 令 $X=\max(X_1,X_2)$，求
      $$P(X\ge\tfrac13).$$
2. 令 $Y_1\sim U[0,1]$，并给定 $Y_2$ 在 $Y_1=y_1$ 条件下的密度
   $$f_{Y_2\mid Y_1}(y_2\mid y_1) =\frac12e^{-|y_2-y_1|} \qquad(-\infty<y_2<\infty).$$
   本组也只写答案：
   1. 求 $Y_2$ 的边缘密度 $f_{Y_2}(y_2)$，需按 $y_2<0$、$0\le y_2\le1$、$y_2>1$ 分段；
   2. 求 $P(Y_2\ge0)$。
3. 令 $Z_1,\ldots,Z_n$ 是 $U[0,\theta]$（$\theta>0$）的随机样本，定义
   $$\hat\theta=\frac2n\sum_{i=1}^{n}Z_i.$$
   本组须给出答案与推导：
   1. 证明 $\hat\theta$ 是 $\theta$ 的无偏估计；
   2. 求 $V[\hat\theta]$；
   3. 当 $n=2$ 时求 $\hat\theta$ 的概率密度函数。

Kai

問1

(1)

$$E[X_1] = \frac{1}{2},\quad V[X_1] = \frac{1}{12}$$

(2)

$$\Pr(x \ge \frac{1}{3}) = \frac{8}{9}$$

問2

(1)

$$f_{Y_2}(y_2) = \left\{ \begin{aligned} &\frac{1}{2}e^{-y_2}(e - 1) \qquad \quad y_2 > 1\\ &\frac{1}{2}e^{y_2}(1 - \frac{1}{e}) \qquad \quad y_2 < 0\\ &\frac{1}{2}(2 - e^{-y_2 - e^{{y_2} - 1}}) \quad 0 \le y_2 \le 1 \end{aligned} \right.$$

(2)

$$\frac{1 + \frac{1}{e}}{2}$$

問3

(1)

$$\begin{aligned} &E[Z_i] = \frac{\theta}{2},i=1,2,\dots,n \\ &E[\hat{\theta}] = \frac{2}{n}E[Z_1 + Z_2 + \cdots + Z_n] = \frac{2}{n}(E[Z_1] + E[Z_2] + \cdots + E[Z_n]) \\ &= \frac{2}{n}(\frac{\theta}{2} + \frac{\theta}{2} + \cdots + \frac{\theta}{2}) = \theta \\ &\therefore \hat{\theta}\text{ is an unbiased estimator of }\theta \end{aligned}$$

(2)

$$\begin{aligned} &V[Z_i] = \frac{\theta ^2}{12},i = 1,2,\dots,n \\ &V[\hat{\theta}] = \frac{4}{n^2}V[Z_1 + Z_2 + \cdots Z_n] = \frac{4}{n^2}(V[Z_1] + V[Z_2] + \cdots + V[Z_n]) \\ &= \frac{4}{n^2}\bigg(\frac{\theta ^2}{12} + \frac{\theta ^2}{12} + \cdots + \frac{\theta ^2}{12}\bigg) = \frac{\theta ^2}{3n} \end{aligned}$$

(3)

$$\text{When} \quad n = 2,\hat{\theta} = Z_1 + Z_2$$

$$\text{where} \quad f_{Z_1}(z_1) = \left\{ \begin{aligned} &1/\theta \quad &0 \le z_1 \le \theta \\ &0 \quad &\text{otherwise} \end{aligned} \right. , f_{Z_2}(z_2) = \left\{ \begin{aligned} &1/\theta \quad &0 \le z_2 \le \theta \\ &0 \quad &\text{otherwise} \end{aligned} \right..$$

$$f_{\hat{\theta}}(x) = f_{Z_1 + Z_2}(x) = \int_{-\infty}^{\infty}f_{Z_1}(z_1)f_{Z_2}(x - z_1)\text{d}z_1$$

$$\text{When} \quad \left\{ \begin{aligned} & 0 \le z_1 \le \theta \\ & 0 \le x - z_1 \le \theta \\ \end{aligned} \right. , \text{which means} \quad \left\{ \begin{aligned} 0 \le z_1 \le \theta \\ x - \theta \le z_1 \le x \\ \end{aligned} \right. , \quad f_{Z_1}(z_1) \neq 0,\quad f_{Z_2}(x - z_1) \neq 0$$

$$\begin{aligned} &(i) \quad \text{When } x < 0 \text{ or } x > 2\theta \quad ,f_{\hat{\theta}}(x) = 0 \\ &(ii) \quad \text{When } 0 \le x \le \theta \quad ,f_{\hat{\theta}}(x) = \int_0^{x}\frac{1}{\theta^2}\text{d}z_1 = \frac{x}{\theta^2} \\ &(iii) \quad \text{When } \theta < x \le 2\theta \quad ,f_{\hat{\theta}}(x) = \int_{x - \theta}^{\theta} \frac{1}{\theta^2}\text{d}z_1 = \frac{2\theta - x}{\theta^2} \end{aligned}$$

$$\therefore \left\{ \begin{aligned} &\frac{x}{\theta^2} &0 \le x \le \theta \\ &\frac{2\theta - x}{\theta^2} &\theta < x \le 2\theta \\ &0 &\text{otherwise} \end{aligned} \right.$$