東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2022年8月実施 専門基礎科目 3.1 解析学

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Author

犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

$x,t,\theta$ は実数、$z$ は複素数とする。以下の問に答えよ。

問1

$m,n\ge1$ を整数、$L$ を実数とする。

$$\int_{-L}^L\sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx$$

を計算せよ。導出の過程を省略し、答えのみ示せ。

問2

関数 $f(x)=\sum_{n=1}^{\infty}a_n\sin(n\pi x/L)$ を考える。$a_n=\int_0^L f(x)g_n(x)\,dx$ の形で表すとき、$g_n(x)$ を求めよ。導出の過程を省略し、答えのみ示せ。

問3

$0\le x\le1$ において、2変数関数 $u(x,t)$ の微分方程式

$$\frac{\partial^2u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2u}{\partial x^2}$$

を、初期条件 $u(x,0)=x-x^2$、$u_t(x,0)=0$、境界条件 $u(0,t)=u(1,t)=0$ のもとで考える。解を

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}b_nX_n(x)T_n(t)$$

としたとき、係数 $b_n$、関数 $X_n,T_n$ を求めよ。導出の過程を省略し、答えのみ示せ。

問4

$k$ を整数とし、関数

$$h(z,x)=\exp\left[\frac x2\left(z-\frac1z\right)\right]$$

のローラン展開 $h(z,x)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}J_k(x)z^k$ を考える。

(i) 次式が成り立つことを留数定理を用いて示せ。

$$J_k(x)=\frac1\pi\int_0^\pi\cos(x\sin\theta-k\theta)\,d\theta.\tag{1}$$

(ii) 実数 $a$ に対して $\dfrac d{d\theta}\sin(a\sin\theta)$ を求めよ。導出の過程を省略し、答えのみ示せ。

(iii) $x\ne0$ とする。$J_{k-1}(x)-J_{k+1}(x)$ と $J_{k-1}(x)+J_{k+1}(x)$ を $J_k(x)$ および $dJ_k(x)/dx$ を用いて表せ。式 (1) を利用してもよい。導出の過程を省略し、答えのみ示せ。

题目描述

$x,t,\theta$ 为实数，$z$ 为复数。除第4问 (i) 外均只写答案。

1. 对整数 $m,n\ge1$ 和实数 $L$，计算

$$\int_{-L}^L\sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx.$$

2. 设 $f(x)=\sum_{n\ge1}a_n\sin(n\pi x/L)$。若 $a_n=\int_0^L f(x)g_n(x)\,dx$，求 $g_n$。
3. 在 $0\le x\le1$ 上求波动方程 $u_{tt}=u_{xx}$ 的级数解

$$u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}b_nX_n(x)T_n(t),$$

初始条件为 $u(x,0)=x-x^2$、$u_t(x,0)=0$，边界条件为 $u(0,t)=u(1,t)=0$。求 $b_n,X_n,T_n$。 4. 对整数 $k$，定义 Laurent 展开

$$\exp\left[\frac x2\left(z-\frac1z\right)\right] =\sum_{k=-\infty}^{\infty}J_k(x)z^k.$$

(i) 用留数定理证明 $J_k(x)=\pi^{-1}\int_0^\pi\cos(x\sin\theta-k\theta)\,d\theta$。

(ii) 对实数 $a$，求 $d\sin(a\sin\theta)/d\theta$。

(iii) 对 $x\ne0$，用 $J_k$ 和 $J_k'$ 表示 $J_{k-1}-J_{k+1}$、$J_{k-1}+J_{k+1}$。可使用 (i) 的公式。

Kai

問1

$$\boxed{\int_{-L}^L\sin\left(\frac{m\pi x}{L}\right)\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\,dx =\begin{cases}L,&m=n,\\0,&m\ne n.\end{cases}\quad(L\ne0)}$$

問2

$$\boxed{g_n(x)=\frac2L\sin\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\quad(L\ne0).}$$

問3

$$\boxed{X_n(x)=\sin(n\pi x),\quad T_n(t)=\cos(n\pi t),\quad b_n=\frac{4\{1-(-1)^n\}}{(n\pi)^3}.}$$

問4

(i) $J_k(x)$ は $h(z,x)/z^{k+1}$ の $z=0$ における留数である。単位円を反時計回りに積分し、$z=e^{i\theta}$（$-\pi\le\theta\le\pi$）とおくと、

$$J_k(x)=\frac1{2\pi i}\oint_{|z|=1}\frac{h(z,x)}{z^{k+1}}\,dz =\frac1{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}e^{i(x\sin\theta-k\theta)}\,d\theta.$$

実部は偶関数、虚部は奇関数なので、

$$\boxed{J_k(x)=\frac1\pi\int_0^\pi\cos(x\sin\theta-k\theta)\,d\theta.}$$

(ii) $\boxed{a\cos\theta\cos(a\sin\theta)}$。

(iii)

$$\boxed{J_{k-1}(x)-J_{k+1}(x)=2J_k'(x),\qquad J_{k-1}(x)+J_{k+1}(x)=\frac{2k}{x}J_k(x).}$$