東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2022年8月実施 専門基礎科目 2.1 線形代数

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Author

之遥, 祭音Myyura

Description

問1

行列 $A$ とベクトル $\mathbf{b}$ を

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ a & 0 & 1 \\ 1-a & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} , \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}$$

とする。ここで $a$ は実定数である。また, $\mathbf{x}_n(n = 0,1,,\dots)$ を $3$ 次元の実ベクトルとする。このとき以下の問に答えよ。 導出の過程を省略し, 答えのみを示せ。

(1) $A$ の固有値を求めよ。

(2) $A$ のランク $r$ が $r < 3$ であるとする。$a$ を求めよ。

(3) $A\mathbf{v} = 0$ を満たすベクトル $\mathbf{v}$ の集合を求めよ。

(4) 写像 $\mathbf{x}_{n + 1} = A\mathbf{x}_n(n = 0,1,2,\dotsb)$ を考える。任意の $\mathbf{x}_0$ に対して

$$\mathbf{x}^* = \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbf{x}_n$$

が存在するための $a$ の条件を求めよ。

(5) $a$ が (4) で求めた条件を満たすとする。このとき, $\mathbf{x}_0 = \mathbf{b}$ に対する $\mathbf{x}^*$ を求めよ。

問2

次の $3$ つのベクトルを考える：

$$\mathbf{u}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}, \mathbf{u}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \mathbf{u}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

以下の問いに答えよ。

(1) これらのベクトルが $1$ 次独立であるかを判定せよ。

(2) これらのベクトルの $1$ 次結合で表される点 $(x,y,z)$ の集合が従う方程式を $z = lx + my$ とする。$l$ と $m$ を求めよ。導出の過程を省略し, 答えのみを示せ。

問3

$xy$ 直交座標系上の $3$ 直線 $a_ix + b_iy + c_i = 0(i = 1,2,3)$ が $1$ 点で交わる, あるいは, 平行であるための必要十分条件は

$$c_1f_1 + c_2f_2 + c_3f_3 = 0$$

である。ここで, $f_i(i=1,2,3)$ はある関数

$$f_i = f_i(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3)$$

である。この命題に対して次の問に答えよ。

(1) $3$ 直線が $1$ 点で交わるという条件から関数 $f_i(i=1,2,3)$ を求めよ。導出の過程を省略し, 答えのみを示せ。

(2) この命題を証明せよ。

题目描述

1. 给定实参数 $a$、

$$A=\begin{pmatrix} 0&1&0\\ a&0&1\\ 1-a&0&0 \end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol b=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},$$

以及离散系统 $\boldsymbol x_{n+1}=A\boldsymbol x_n$。本组省略推导、只写答案：

1. 求 $A$ 的全部特征值；
2. 若 $\operatorname{rank}A<3$，求 $a$；
3. 求解集 $\{\boldsymbol v\mid A\boldsymbol v=0\}$；
4. 求使任意初值 $\boldsymbol x_0$ 的极限

$$\boldsymbol x^*=\lim_{n\to\infty}\boldsymbol x_n$$

  都存在时 $a$ 的条件；

5. 在该条件下，对 $\boldsymbol x_0=\boldsymbol b$ 求 $\boldsymbol x^*$。 2. 给定

$$\boldsymbol u_1=(1,3,-2)^T,\quad \boldsymbol u_2=(1,1,0)^T,\quad \boldsymbol u_3=(1,0,1)^T.$$

1. 判断三向量是否线性无关；
2. 它们的线性组合形成的点集满足

$$z=lx+my.$$

  求 $l,m$，只写答案。

3. 平面上的三条直线

$$a_ix+b_iy+c_i=0\qquad(i=1,2,3)$$

共点或互相平行的充要条件可写为

$$c_1f_1+c_2f_2+c_3f_3=0,$$

其中 $f_i$ 只依赖于 $a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3$。

1. 从三线共点条件求 $f_1,f_2,f_3$，只写答案；
2. 证明该命题。

Kai

問1

(1)

$$\boxed{1,\quad\frac{-1+\sqrt{4a-3}}2,\quad\frac{-1-\sqrt{4a-3}}2.}$$

(2) $\boxed{a=1}$。

(3)

$$\boxed{\ker A=\begin{cases} \{s(1,0,-1)^{\mathsf T}:s\in\mathbb R\},&a=1,\\ \{0\},&a\ne1. \end{cases}}$$

(4) $\boxed{0<a<1}$。

(5)

$$\boxed{x^*=\frac1{3-a}\begin{pmatrix}1\\1\\1-a\end{pmatrix}.}$$

問2

(1) $u_1-3u_2+2u_3=0$ なので、1次従属である。

(2) $\boxed{l=1,\quad m=-1}$。

問3

(1)

$$\boxed{f_1=a_2b_3-a_3b_2,\quad f_2=a_3b_1-a_1b_3,\quad f_3=a_1b_2-a_2b_1.}$$

(2)

$$M=\begin{pmatrix}a_1&b_1&c_1\\a_2&b_2&c_2\\a_3&b_3&c_3\end{pmatrix}$$

とおけば、条件は $\det M=0$ である。

3直線が点 $(x_0,y_0)$ を共有すれば $M(x_0,y_0,1)^{\mathsf T}=0$。平行なら共通の方向ベクトル $(u,v)\ne(0,0)$ があり、$M(u,v,0)^{\mathsf T}=0$。いずれも $\det M=0$ が従う。

逆に $\det M=0$ なら、$M(X,Y,Z)^{\mathsf T}=0$ を満たす非零ベクトルが存在する。$Z\ne0$ なら3直線は $(X/Z,Y/Z)$ を共有する。$Z=0$ なら $(X,Y)\ne(0,0)$ はすべての法線 $(a_i,b_i)$ に直交するので、3直線は平行である。以上で必要十分性が示された。