東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2022年8月実施 専門基礎科目 2.1 線形代数

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之遥

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問1

行列 とベクトル を

とする。ここで は実定数である。また, を 次元の実ベクトルとする。このとき以下の問に答えよ。 導出の過程を省略し, 答えのみを示せ。

(1) の固有値を求めよ。

(2) のランク が であるとする。 を求めよ。

(3) を満たすベクトル の集合を求めよ。

(4) 写像 を考える。任意の に対して

が存在するための の条件を求めよ。

(5) が (4) で求めた条件を満たすとする。このとき, に対する を求めよ。

問2

次の つのベクトルを考える：

以下の問いに答えよ。

(1) これらのベクトルが 次独立であるかを判定せよ。

(2) これらのベクトルの 次結合で表される点 の集合が従う方程式を とする。 と を求めよ。導出の過程を省略し, 答えのみを示せ。

問3

直交座標系上の 直線 が 点で交わる, あるいは, 平行であるための必要十分条件は

である。ここで, はある関数

である。この命題に対して次の問に答えよ。

(1) 直線が 点で交わるという条件から関数 を求めよ。導出の過程を省略し, 答えのみを示せ。

(2) この命題を証明せよ。

Kai

問1

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

問2

(1)

There are not linearly independent.

(2)

問3

(1)

(2)

Let point be intersection of line 1 and 2 ,then we have

Since three lines intersect at one point,