東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2022年8月実施 専門基礎科目 2.1 線形代数

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之遥

Description

問1

行列 $A$ とベクトル $\mathbf{b}$ を

$$A = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ a & 0 & 1 \\ 1-a & 0 & 0 \\ \end{pmatrix} , \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ \end{pmatrix}$$

とする。ここで $a$ は実定数である。また, $\mathbf{x}_n(n = 0,1,,\dots)$ を $3$ 次元の実ベクトルとする。このとき以下の問に答えよ。 導出の過程を省略し, 答えのみを示せ。

(1) $A$ の固有値を求めよ。

(2) $A$ のランク $r$ が $r < 3$ であるとする。$a$ を求めよ。

(3) $A\mathbf{v} = 0$ を満たすベクトル $\mathbf{v}$ の集合を求めよ。

(4) 写像 $\mathbf{x}_{n + 1} = A\mathbf{x}_n(n = 0,1,2,\dotsb)$ を考える。任意の $\mathbf{x}_0$ に対して

$$\mathbf{x}^* = \lim_{n \rightarrow \infty} \mathbf{x}_n$$

が存在するための $a$ の条件を求めよ。

(5) $a$ が (4) で求めた条件を満たすとする。このとき, $\mathbf{x}_0 = \mathbf{b}$ に対する $\mathbf{x}^*$ を求めよ。

問2

次の $3$ つのベクトルを考える：

$$\mathbf{u}_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}, \mathbf{u}_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}, \mathbf{u}_3 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

以下の問いに答えよ。

(1) これらのベクトルが $1$ 次独立であるかを判定せよ。

(2) これらのベクトルの $1$ 次結合で表される点 $(x,y,z)$ の集合が従う方程式を $z = lx + my$ とする。$l$ と $m$ を求めよ。導出の過程を省略し, 答えのみを示せ。

問3

$xy$ 直交座標系上の $3$ 直線 $a_ix + b_iy + c_i = 0(i = 1,2,3)$ が $1$ 点で交わる, あるいは, 平行であるための必要十分条件は

$$c_1f_1 + c_2f_2 + c_3f_3 = 0$$

である。ここで, $f_i(i=1,2,3)$ はある関数

$$f_i = f_i(a_1,a_2,a_3,b_1,b_2,b_3)$$

である。この命題に対して次の問に答えよ。

(1) $3$ 直線が $1$ 点で交わるという条件から関数 $f_i(i=1,2,3)$ を求めよ。導出の過程を省略し, 答えのみを示せ。

(2) この命題を証明せよ。

Kai

問1

(1)

$$\lambda_1 = 1,\lambda_2 = \frac{-1 + \sqrt{4a - 3}}{2},\lambda_3 = \frac{-1 - \sqrt{4a - 3}}{2}$$

(2)

$$a = 1$$

(3)

$$\begin{aligned} &\text{When} \quad a = 1 , \quad v = c\begin{bmatrix} -1 \\ 0 \\ 1\end{bmatrix}, c \text{ is an arbitrary constant.}\\ &\text{When} \quad a \neq 1,\quad v = \begin{bmatrix} 0 \\0 \\0 \end{bmatrix}. \end{aligned}$$

(4)

$$0 < a < 1$$

(5)

$$x^* = \frac{1}{3 - a}\begin{bmatrix} 1 \\ 1\\ 1-a \end{bmatrix}$$

問2

(1)

There are not linearly independent.

(2)

$$\left\{ \begin{aligned} &l = 1\\ &m = -1\\ \end{aligned} \right.$$

問3

(1)

$$\left\{ \begin{aligned} &f_1 = a_2b_3 - a_3b_2\\ &f_2 = a_3b_1 - a_1b_3\\ &f_3 = a_1b_2 - a_2b_1\\ \end{aligned} \right.$$

(2)

Let point $(x_0,y_0)$ be intersection of line 1 and 2 ,then we have

$$\begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -c_1 \\ -c_2 \\ \end{bmatrix}$$

Since three lines intersect at one point,

$$\begin{aligned} &\quad a_1b_2 - a_2b_1 \neq 0 \\ &\therefore \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1 & b_1 \\ a_2 & b_2 \\ \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} -c_1 \\ -c_2\\ \end{bmatrix} = \frac{1}{a_1b_2 - a_2b_1} \begin{bmatrix} b_1c_2 - b_2c_1 \\ a_2c_1 - a_1c_2 \\ \end{bmatrix} \\ &\because \text{Point } (x_0,y_0) \text{ is on line 3.}\\ &\therefore \begin{bmatrix} a_3 & b_3 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \end{bmatrix} = -c_3 \\ &a_3(b_1c_2 - b_2c_1) + b_3(a_2c_1 - a_1c_2) = -c_3(a_1b_2 - a_2b_1) \\ &c_1(a_2b_3 - a_3b_2) + c_2(a_3b_1 - a_1b_3) + c_3(a_1b_2 - a_2b_1) = 0 \\ \end{aligned}$$