東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2022年8月実施 専門基礎科目 1.1 微分積分

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Author

之遥

Description

以下の問に答えよ。すべての定数と変数は実数、関数は実関数とする。導出の過程を省略し、答えのみ示せ。

問1

関数 $A(t), B(t), C(t)$ が以下の微分方程式を満たしている。

$$\begin{aligned} &\frac{\text{d}A(t)}{\text{d}t} = -k_1 A(t) \\ &\frac{\text{d}B(t)}{\text{d}t} = k_1 A(t) - k_2 B(t) \\ &\frac{\text{d}C(t)}{\text{d}t} = k_2 B(t)\\ \end{aligned}$$

初期条件は $A(0) = A_0, B(0) = 0, C(0) = 0$ である。ただし $A_0, \ k_1, \ k_2$ は正の定数である。

(1) $A(t)$ を求めよ。

(2) $k_1 \neq k_2$ のとき $B(t)$ と $C(t)$ を求めよ。

(3) $k_1 = k_2$ のとき $B(t)$ と $C(t)$ を求めよ。

問2

$xyz$ 直交座標系において成分 $(a, b, c)$ を持つ単位ベクトルを法線ベクトルとし、原点を通る平面 $P$ を考える。

(1) 平面 $P$ の式を示せ。

(2) $3$ 点の座標 $Q_1 (\sqrt{2}, 0, 0)$, $Q_2 (0, 1, -1)$, $Q_3 (1, 1, 1)$ を定義する。 $Q_i (i=1, 2, 3)$ から平面 $P$ への距離を $h_i$ とするとき、$L = h_1^2 + h_2^2 + h_3^2$ とする。$L$ の式を示せ。

(3) $L$ を最小とする平面 $P$ の式と $L$ の値を求めよ。

問3

$xy$ 直交座標系で三つの曲線 $y = \frac{1}{x^2 + 1}$, $y = \frac{1}{2}x^2$, 及び $x = 0$ で囲まれる $x \geq 0$ の領域 $W$ を $y$ 軸の回りで $1$ 回転してできる立体の体積を求めよ。

問4

$xyz$ 直交座標系において点 $(x, y, z) = (\cos\theta, \sin\theta, \theta)$ の $0 \leq \theta \leq 2\pi$ の区間の軌跡の長さを求めよ。

题目描述

以下常数、变量和函数均为实数，省略推导，只写答案。回答四组问题：

1. 连续一级反应 $A\to B\to C$ 满足

$$A'=-k_1A,\qquad B'=k_1A-k_2B,\qquad C'=k_2B,$$

初值为

$$A(0)=A_0,\quad B(0)=C(0)=0,$$

其中 $A_0,k_1,k_2>0$。

1. 求 $A(t)$；
2. 当 $k_1\ne k_2$ 时求 $B(t),C(t)$；
3. 当 $k_1=k_2$ 时求 $B(t),C(t)$。
4. 在三维直角坐标系中，过原点的平面 $P$ 以单位向量 $(a,b,c)$ 为法向。
   1. 写出 $P$ 的方程；
   2. 给定

$$Q_1=(\sqrt2,0,0),\quad Q_2=(0,1,-1),\quad Q_3=(1,1,1),$$

  令 $h_i$ 为 $Q_i$ 到 $P$ 的距离，写出

$$L=h_1^2+h_2^2+h_3^2;$$

3. 求使 $L$ 最小的平面 $P$ 及最小值。
4. 在 $x\ge0$ 区域内，曲线

$$y=\frac1{x^2+1},\qquad y=\frac12x^2,\qquad x=0$$

围成区域 $W$。求 $W$ 绕 $y$ 轴旋转一周所得立体体积。 4. 求空间曲线

$$(x,y,z)=(\cos\theta,\sin\theta,\theta), \qquad0\le\theta\le2\pi$$

的弧长。

Kai

問1

(1) $\boxed{A(t)=A_0e^{-k_1t}}$。

(2) $k_1\ne k_2$ のとき、

$$\boxed{\begin{aligned} B(t)&=\frac{A_0k_1}{k_2-k_1}\left(e^{-k_1t}-e^{-k_2t}\right),\\ C(t)&=A_0\left[1-\frac{k_2e^{-k_1t}-k_1e^{-k_2t}}{k_2-k_1}\right]. \end{aligned}}$$

(3) $k_1=k_2=k$ のとき、

$$\boxed{B(t)=A_0kte^{-kt},\qquad C(t)=A_0\left[1-(1+kt)e^{-kt}\right].}$$

問2

(1) $\boxed{P:ax+by+cz=0}$。

(2)

$$\boxed{L=2a^2+(b-c)^2+(a+b+c)^2.}$$

(3)

$$\boxed{P:x-y-z=0,\qquad L_{\min}=1.}$$

問3

$$\boxed{V=\pi\left(\log2-\frac14\right).}$$

問4

$$\boxed{2\sqrt2\,\pi}.$$