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東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2021年8月実施 専門基礎科目 3.2 確率・統計

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Author​

之遥, 祭音Myyura

Description​

問1​

国民の 0.1%0.1\% が感染症に感染しているとする。ある検査は、検査を受けた感染者の 80%80\% を陽性と判定する。 しかし、この検査は、検査を受けた非感染者の 0.2%0.2\% を陽性と誤って判定してしまう。国民から無作為に抽出された 11 名がこの検査で陽性と判定されたとき、感染している確率はいくらか。 以下の選択肢のうちで最も近いものを 11 つ選べ。計算過程は示さなくてよい。

(a)0.2,(b)0.3,(c)0.4,(d)0.5,(e)0.6,(f)0.7,(g)0.8,(h)0.9,\begin{aligned} &(a)0.2,\quad(b)0.3,\quad(c)0.4,\quad(d)0.5, \\ &(e)0.6,\quad(f)0.7,\quad(g)0.8,\quad(h)0.9, \\ \end{aligned}

問2​

確率変数 X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n は互いに独立で、同一の確率密度関数

f(x)={λe−λx,x≥00,x<0f(x) = \left\{ \begin{aligned} &\lambda e^{-\lambda x},&x \ge 0 \\ &0 ,&x < 0 \end{aligned} \right.

に従うとする。ただし、ee は自然対数の底、λ\lambda は正のパラメータである。このとき、以下の問に答えよ。(1)、(2)、(3) については、導出の過程を省略し、答えのみ示せ。(4) と (5) は、答えに加えて導出の過程も示せ。

(1) 確率変数 X1X_1 の期待値 E[X1]E[X_1] と分散 V[X1]V[X_1] を考える。E[X1]=aλbE[X_1] = a\lambda^{b} および V[X1]=cλdV[X_1] = c\lambda^{d} を満たす定数 a,b,c,da, b, c, d を求めよ。

(2) 標本 X1,X2,…,XnX_1, X_2, \dots, X_n に基づく、パラメータ λ\lambda についての最尤推定量を求めよ。

(3) 確率変数 S2=X1+X2,S3=X1+X2+X3S_2 = X_1 + X_2, S_3 = X_1 + X_2 + X_3 を考える。S2,S3S_2, S_3 の確率密度関数 fS2(x),fS3(x)f_{S_2}(x), f_{S_3}(x) を求めよ。

(4) nn 個の確率変数の和、すなわち、Sn=∑k=1nXkS_n = \sum_{k=1}^n X_k を考える。SnS_n の確率密度関数 fSn(x)f_{S_n}(x) を導出せよ。以下の公式を用いてもよい。

m!=∫0∞tme−tdtm! = \int_0^{\infty}t^{m}e^{-t}\text{d}t

ただし、mm は自然数、tt は実数、m!=m⋅(m−1)⋯2⋅1m! = m \cdot (m-1) \cdots 2 \cdot 1 は mm の階乗である。

(5) (2) で求めた最尤推定量が不偏推定量であること、あるいは、そうではないことを示せ。

题目描述​

  1. 假设全国人口感染率为 0.1%0.1\%。某检测对感染者的灵敏度为 80%80\%，但会把非感染者中的 0.2%0.2\% 误判为阳性。从全国随机抽取一人且检测阳性，求其实际感染概率，并从下列选项中选最接近者，无需计算过程：
    0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9.0.2,\ 0.3,\ 0.4,\ 0.5,\ 0.6,\ 0.7,\ 0.8,\ 0.9.
  2. 设 X1,…,XnX_1,\ldots,X_n 相互独立且同服从参数 λ>0\lambda>0 的指数分布
    f(x)={λe−λx,x≥0,0,x<0.f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},&x\ge0,\\ 0,&x<0. \end{cases}
    第 1—3 小问只写答案，第 4—5 小问还须给出推导：
    1. 求满足
      E[X1]=aλb,V[X1]=cλdE[X_1]=a\lambda^b,\qquad V[X_1]=c\lambda^d
      的常数 a,b,c,da,b,c,d；
    2. 求基于样本 X1,…,XnX_1,\ldots,X_n 的 λ\lambda 最大似然估计量；
    3. 对
      S2=X1+X2,S3=X1+X2+X3,S_2=X_1+X_2,\qquad S_3=X_1+X_2+X_3,
      求密度 fS2(x),fS3(x)f_{S_2}(x),f_{S_3}(x)；
    4. 对
      Sn=∑k=1nXk,S_n=\sum_{k=1}^{n}X_k,
      推导一般密度 fSn(x)f_{S_n}(x)。可用
      m!=∫0∞tme−t dtm!=\int_0^\infty t^me^{-t}\,dt
      （mm 为自然数）；
    5. 判断第 2 小问的最大似然估计量是否无偏并证明。

Kai​

問1​

(b)

問2​

(1)​

a=1,b=−1,c=1,d=−2a = 1,b = -1,c = 1,d = -2

(2)​

λ^=nX1+X2+⋯+Xn\hat{\lambda} = \frac{n}{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}

(3)​

fs2(x)={e−λxλ2x,x≥00,otherwise,fs3(x)={e−λxλ3x22,x≥00,otherwisef_{s_2}(x) = \left\{ \begin{aligned} &e^{-\lambda x} \lambda ^2 x ,x \ge 0 \\ &0,\text{otherwise} \end{aligned} \right. , f_{s_3}(x) = \left\{ \begin{aligned} &e^{-\lambda x} \frac{\lambda ^3 x^2}{2} ,x \ge 0 \\ &0,\text{otherwise} \end{aligned} \right.

(4)​

Erlang distribution, see here for details.

fSn(x)={λe−λx(λx)n−1(n−1)!,x≥00,otherwisef_{S_n}(x) = \left\{ \begin{aligned} &\lambda e^{-\lambda x} \frac{(\lambda x)^{n - 1}}{(n - 1)!} , &x \ge 0 \\ &0, &\text{otherwise} \end{aligned} \right.

(5)​

E[λ^]=E[nX1+X2+⋯+Xn]=nE[1Sn]=n∫0∞1xe−λxλnxn−1(n−1)!dx=n∫0∞e−λxλnxn−2(n−1)!dx=nλ(n−1)!∫0∞e−λx(λx)n−2d(λx)=nλ(n−1)!(n−2)!=nλn−1≠λ\begin{aligned} E[\hat{\lambda}] &= E[\frac{n}{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}] = nE[\frac{1}{S_n}] \\ &= n\int_0^{\infty}\frac{1}{x} e^{-\lambda x} \frac{\lambda ^n x^{n-1}}{(n - 1)!}\text{d}x \\ &= n \int_0^{\infty} e^{-\lambda x} \frac{\lambda ^n x^{n-2}}{(n - 1)!}\text{d}x \\ &= \frac{n\lambda}{(n-1)!}\int_0^{\infty}e^{-\lambda x}(\lambda x)^{n-2}\text{d}(\lambda x) \\ &= \frac{n\lambda}{(n-1)!}(n-2)! = \frac{n\lambda}{n - 1} \neq \lambda \end{aligned}
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