東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2021年8月実施 専門基礎科目 3.2 確率・統計
Author
之遥, 祭音Myyura
Description
国民の が感染症に感染しているとする。ある検査は、検査を受けた感染者の を陽性と判定する。
しかし、この検査は、検査を受けた非感染者の を陽性と誤って判定してしまう。国民から無作為に抽出された 名がこの検査で陽性と判定されたとき、感染している確率はいくらか。
以下の選択肢のうちで最も近いものを つ選べ。計算過程は示さなくてよい。
確率変数 は互いに独立で、同一の確率密度関数
に従うとする。ただし、 は自然対数の底、 は正のパラメータである。このとき、以下の問に答えよ。(1)、(2)、(3) については、導出の過程を省略し、答えのみ示せ。(4) と (5) は、答えに加えて導出の過程も示せ。
(1) 確率変数 の期待値 と分散 を考える。 および を満たす定数 を求めよ。
(2) 標本 に基づく、パラメータ についての最尤推定量を求めよ。
(3) 確率変数 を考える。 の確率密度関数 を求めよ。
(4) 個の確率変数の和、すなわち、 を考える。 の確率密度関数 を導出せよ。以下の公式を用いてもよい。
ただし、 は自然数、 は実数、 は の階乗である。
(5) (2) で求めた最尤推定量が不偏推定量であること、あるいは、そうではないことを示せ。
Kai
(b)
(1)
(2)
(3)
(4)
Erlang distribution, see here for details.
(5)