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東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2021年8月実施 専門基礎科目 3.2 確率・統計

Author

之遥, 祭音Myyura

Description

問1

国民の が感染症に感染しているとする。ある検査は、検査を受けた感染者の を陽性と判定する。 しかし、この検査は、検査を受けた非感染者の を陽性と誤って判定してしまう。国民から無作為に抽出された 名がこの検査で陽性と判定されたとき、感染している確率はいくらか。 以下の選択肢のうちで最も近いものを つ選べ。計算過程は示さなくてよい。

問2

確率変数 は互いに独立で、同一の確率密度関数

に従うとする。ただし、 は自然対数の底、 は正のパラメータである。このとき、以下の問に答えよ。(1)、(2)、(3) については、導出の過程を省略し、答えのみ示せ。(4) と (5) は、答えに加えて導出の過程も示せ。

(1) 確率変数 の期待値 と分散 を考える。 および を満たす定数 を求めよ。

(2) 標本 に基づく、パラメータ についての最尤推定量を求めよ。

(3) 確率変数 を考える。 の確率密度関数 を求めよ。

(4) 個の確率変数の和、すなわち、 を考える。 の確率密度関数 を導出せよ。以下の公式を用いてもよい。

ただし、 は自然数、 は実数、 の階乗である。

(5) (2) で求めた最尤推定量が不偏推定量であること、あるいは、そうではないことを示せ。

Kai

問1

(b)

問2

(1)

(2)

(3)

(4)

Erlang distribution, see here for details.

(5)