東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2021年8月実施 専門基礎科目 3.2 確率・統計

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之遥, 祭音Myyura

Description

問1

国民の $0.1\%$ が感染症に感染しているとする。ある検査は、検査を受けた感染者の $80\%$ を陽性と判定する。 しかし、この検査は、検査を受けた非感染者の $0.2\%$ を陽性と誤って判定してしまう。国民から無作為に抽出された $1$ 名がこの検査で陽性と判定されたとき、感染している確率はいくらか。 以下の選択肢のうちで最も近いものを $1$ つ選べ。計算過程は示さなくてよい。

$$\begin{aligned} &(a)0.2,\quad(b)0.3,\quad(c)0.4,\quad(d)0.5, \\ &(e)0.6,\quad(f)0.7,\quad(g)0.8,\quad(h)0.9, \\ \end{aligned}$$

問2

確率変数 $X_1, X_2, \dots, X_n$ は互いに独立で、同一の確率密度関数

$$f(x) = \left\{ \begin{aligned} &\lambda e^{-\lambda x},&x \ge 0 \\ &0 ,&x < 0 \end{aligned} \right.$$

に従うとする。ただし、$e$ は自然対数の底、$\lambda$ は正のパラメータである。このとき、以下の問に答えよ。(1)、(2)、(3) については、導出の過程を省略し、答えのみ示せ。(4) と (5) は、答えに加えて導出の過程も示せ。

(1) 確率変数 $X_1$ の期待値 $E[X_1]$ と分散 $V[X_1]$ を考える。$E[X_1] = a\lambda^{b}$ および $V[X_1] = c\lambda^{d}$ を満たす定数 $a, b, c, d$ を求めよ。

(2) 標本 $X_1, X_2, \dots, X_n$ に基づく、パラメータ $\lambda$ についての最尤推定量を求めよ。

(3) 確率変数 $S_2 = X_1 + X_2, S_3 = X_1 + X_2 + X_3$ を考える。$S_2, S_3$ の確率密度関数 $f_{S_2}(x), f_{S_3}(x)$ を求めよ。

(4) $n$ 個の確率変数の和、すなわち、$S_n = \sum_{k=1}^n X_k$ を考える。$S_n$ の確率密度関数 $f_{S_n}(x)$ を導出せよ。以下の公式を用いてもよい。

$$m! = \int_0^{\infty}t^{m}e^{-t}\text{d}t$$

ただし、$m$ は自然数、$t$ は実数、$m! = m \cdot (m-1) \cdots 2 \cdot 1$ は $m$ の階乗である。

(5) (2) で求めた最尤推定量が不偏推定量であること、あるいは、そうではないことを示せ。

题目描述

1. 假设全国人口感染率为 $0.1\%$。某检测对感染者的灵敏度为 $80\%$，但会把非感染者中的 $0.2\%$ 误判为阳性。从全国随机抽取一人且检测阳性，求其实际感染概率，并从下列选项中选最接近者，无需计算过程：

$$0.2,\ 0.3,\ 0.4,\ 0.5,\ 0.6,\ 0.7,\ 0.8,\ 0.9.$$

2. 设 $X_1,\ldots,X_n$ 相互独立且同服从参数 $\lambda>0$ 的指数分布

$$f(x)= \begin{cases} \lambda e^{-\lambda x},&x\ge0,\\ 0,&x<0. \end{cases}$$

第 1—3 小问只写答案，第 4—5 小问还须给出推导：

1. 求满足

$$E[X_1]=a\lambda^b,\qquad V[X_1]=c\lambda^d$$

  的常数 $a,b,c,d$；

2. 求基于样本 $X_1,\ldots,X_n$ 的 $\lambda$ 最大似然估计量； 3. 对

$$S_2=X_1+X_2,\qquad S_3=X_1+X_2+X_3,$$

  求密度 $f_{S_2}(x),f_{S_3}(x)$；

4. 对

$$S_n=\sum_{k=1}^{n}X_k,$$

  推导一般密度 $f_{S_n}(x)$。可用

$$m!=\int_0^\infty t^me^{-t}\,dt$$

  （$m$ 为自然数）；

5. 判断第 2 小问的最大似然估计量是否无偏并证明。

Kai

問1

$\boxed{\text{(b)}\ 0.3}$。

問2

(1) $\boxed{a=1,\ b=-1,\ c=1,\ d=-2}$。

(2)

$$\boxed{\widehat\lambda=\frac{n}{\sum_{j=1}^nX_j}}.$$

(3)

$$f_{S_2}(x)=\begin{cases}\lambda^2xe^{-\lambda x},&x\ge0,\\0,&x<0,\end{cases}\qquad f_{S_3}(x)=\begin{cases}\frac{\lambda^3x^2}{2}e^{-\lambda x},&x\ge0,\\0,&x<0.\end{cases}$$

(4) 帰納法で示す。$f_{S_k}(x)=\lambda^k x^{k-1}e^{-\lambda x}/(k-1)!$（$x\ge0$）と仮定すると、独立性と畳み込み公式より

$$f_{S_{k+1}}(x)=\int_0^x\frac{\lambda^k u^{k-1}e^{-\lambda u}}{(k-1)!} \lambda e^{-\lambda(x-u)}\,du =\frac{\lambda^{k+1}x^k e^{-\lambda x}}{k!}.$$

$n=1$ は与えられた密度そのものなので、

$$\boxed{f_{S_n}(x)=\begin{cases}\dfrac{\lambda^n x^{n-1}e^{-\lambda x}}{(n-1)!},&x\ge0,\\0,&x<0.\end{cases}}$$

(5) $n>1$ のとき、

$$E[\widehat\lambda] =\frac{n\lambda^n}{(n-1)!}\int_0^\infty x^{n-2}e^{-\lambda x}\,dx =\frac{n\lambda}{n-1}\ne\lambda.$$

$n=1$ では $E[1/X_1]=\infty$。したがって最尤推定量は不偏ではない。