東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2021年8月実施 専門基礎科目 3.1 解析学

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• 东京大学
• 傅里叶变换
• 卷积
• 用留数计算实积分

Author

犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

$t,\omega$ を実数とし、実関数 $f(t)$ のフーリエ変換と逆フーリエ変換を

$$F(\omega)=\mathcal F[f(t)]=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt,\qquad \mathcal F^{-1}[F(\omega)]=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega$$

と定義する。$e$ は自然対数の底、$i$ は虚数単位である。$a>0$ として、

$$g(t)=\begin{cases}e^{-at},&t\ge0,\\0,&t<0\end{cases}$$

と定義する。問1・問2は導出を省略し、答えのみ示せ。問3・問4は導出の過程も示せ。

問1

$g(t)$ のフーリエ変換 $G(\omega)$ を求めよ。

問2

$h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}g(t+s)g(s)\,ds$ と定義する。$h(t)$ のフーリエ変換 $H(\omega)$ を、$G(\omega)$ とその複素共役 $\overline{G(\omega)}$ を用いて表せ。

問3

複素数 $z$ に対し、図1の経路 $C=C_1+C_2$ に沿う周回積分

$$\oint_C\frac{e^{izt}}{z^2+a^2}\,dz\qquad(t\ge0)\tag{1}$$

を考える。$C_1$ は $-R$ から $R$ への線分、$C_2$ は原点中心、半径 $R$ の上半円を $R$ から $-R$ へたどる経路で、$R>a$ とする。$\operatorname{Re}z,\operatorname{Im}z$ は実部と虚部を表す。

(i) 式 (1) の被積分関数の $\operatorname{Im}z>0$ における極と、その留数を求めよ。

(ii) 留数定理を用いて

$$\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i\omega t}}{\omega^2+a^2}\,d\omega$$

を求めよ。$R\to\infty$ で $C_2$ に沿う積分の寄与がなくなることを用いてよい。

問4

問2の $H(\omega)$ の逆フーリエ変換を求め、$t$ の関数としてその概形を描け。

题目描述

定义傅里叶变换及逆变换：

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt,\qquad f(t)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega.$$

$t,\omega$ 为实数，$e$ 为自然对数的底，$i$ 为虚数单位。对 $a>0$，设 $g(t)=e^{-at}$（$t\ge0$），$g(t)=0$（$t<0$）。第1、2问只写答案，第3、4问须写推导。

1. 求 $g$ 的傅里叶变换 $G$。
2. 定义 $h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}g(t+s)g(s)\,ds$。用 $G$ 及其复共轭表示 $h$ 的傅里叶变换 $H$。
3. 对 $t\ge0$ 考虑

$$\oint_C\frac{e^{izt}}{z^2+a^2}\,dz.$$

围道 $C$ 先沿实轴从 $-R$ 到 $R$，再沿上半圆返回 $-R$，其中 $R>a$。

• 求上半平面的极点和留数。
• 用留数定理求 $\int_{-\infty}^{\infty}e^{i\omega t}/(\omega^2+a^2)\,d\omega$。可用上半圆弧积分在 $R\to\infty$ 时趋于零的事实。

4. 求 $H$ 的逆傅里叶变换，并画出其关于 $t$ 的函数图形。

Kai

問1・問2

$$\boxed{G(\omega)=\frac1{a+i\omega},\qquad H(\omega)=G(\omega)\overline{G(\omega)}=\frac1{a^2+\omega^2}.}$$

問3

(i) 上半平面内の極は単純極 $z=ia$ のみであり、

$$\operatorname{Res}_{z=ia}\frac{e^{izt}}{(z-ia)(z+ia)} =\frac{e^{-at}}{2ia}.$$

(ii) 留数定理より $\oint_C e^{izt}/(z^2+a^2)\,dz=\pi e^{-at}/a$。上半円弧の寄与は $R\to\infty$ で消えるので、

$$\boxed{\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{i\omega t}}{\omega^2+a^2}\,d\omega =\frac\pi a e^{-at}\qquad(t\ge0).}$$

問4

$H$ は実数値の偶関数なので逆変換も実数値の偶関数である。問3の結果から、

$$\boxed{\mathcal F^{-1}[H](t)=\frac1{2a}e^{-a|t|}.}$$

$t=0$ で最大値 $1/(2a)$ をとり、左右対称に減少して $0$ に近づく。