東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2021年8月実施 専門基礎科目 2.1 線形代数

Author

之遥

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以下の問に答えよ。

問1

実正方行列 を

とする。ただし とする。このとき, 以下の問に答えよ。導出の過程を省略し, 答えのみを示せ。

(1) 行列 の固有値 を求めよ。ただし, とする。

(2) 行列 の固有ベクトル を求めよ。ただし, 固有値 に対応する固有ベクトルをそれぞれ とする。

(3) 正の整数 に対して, を求めよ。

問2

実対称行列 の固有値を とし, 対応する固有ベクトルをそれぞれ とする。このとき, 以下の問に答えよ。

(1) の制約のもとでの の最小値を求めよ。答えに加えて, 導出の過程を示せ。

(2) の制約のもとでの の最小値を求めよ。導出の過程を省略し, 答えのみ示せ。

ただし, は正の整数, は 次元実ベクトル, は転置とする。

問3

実正方行列 を

とする。行列 の固有値を とする。このとき, 以下の問に答えよ。

(1) 以下を を用いて示せ。導出の過程を省略し, 答えのみ示せ。

(2) 以下が成立することを示せ。ただし, は自然対数の底, は の階乗, は行列式とする。導出の過程を示せ。

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Answer the following questions.

(Q.1) Consider a real square matrix A given by

where , . Answer the following questions. Omit the derivations and write only the answers.

• (1) Obtain the eigenvalues and ( ) of matrix A.
• (2) Obtain the eigenvectors and of matrix A. and correspond to and , respectively.
• (3) Obtain , where n is a positive integer.
• (Q.2) Consider an real symmetric matrix B with the eigenvalues ( ) and the corresponding eigenvectors .

  • (1) Under the constraint of , obtain the minimum of . Show the derivations in addition to the answers.

  • (2) Under the constraint of and ( ), obtain the minimum of .

    Omit the derivations and write only the answers.

Note that n and m are positive integers, is an n-dimensional real vector, and is a transpose.

(Q.3) Consider a real square matrix C given by

Assume the eigenvalues of matrix C are , , and ( ). Answer the following questions.

(1) Express the following in terms of , , and :

Omit the derivations and write only the answer.

(2) Show that the following holds:

where e is the base of the natural logarithm, is the factorial of k, and det is the determinant. Show the derivations.

Kai

問1

(1)

(2)

(3)

問2

(1)

(2)

問3

(1)

(2)