東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2021年8月実施 専門基礎科目 2.1 線形代数

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Author

之遥, 祭音Myyura

Description

以下の問に答えよ。

問1

実正方行列 $A$ を

$$A = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ 1 - \alpha & 1 - \beta \\ \end{pmatrix}$$

とする。ただし $0 < \alpha < 1 ,0 < \beta < 1$ とする。このとき, 以下の問に答えよ。導出の過程を省略し, 答えのみを示せ。

(1) 行列 $A$ の固有値 $\lambda_1,\lambda_2$ を求めよ。ただし, $\lambda_1 < \lambda_2$ とする。

(2) 行列 $A$ の固有ベクトル $\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2$ を求めよ。ただし, 固有値 $\lambda_1,\lambda_2$ に対応する固有ベクトルをそれぞれ $\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2$ とする。

(3) 正の整数 $n$ に対して, $\lim_{n \rightarrow \infty} A^n$ を求めよ。

問2

$n \times n$実対称行列 $B$ の固有値を $\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_n(\mu_1 < \mu_2 < \cdots < \mu_n)$ とし, 対応する固有ベクトルをそれぞれ $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_n$ とする。このとき, 以下の問に答えよ。

(1) $\mathbf{x} \neq 0$ の制約のもとでの $\frac{\mathbf{x}^{\mathrm{T}}B\mathbf{x}}{\mathbf{x}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}}$ の最小値を求めよ。答えに加えて, 導出の過程を示せ。

(2) $\mathbf{x} \neq 0,\mathbf{x}^{\mathrm{T}}\mathbf{v}_i = 0(i = 1,2,\dots,m,1 \le m < n)$ の制約のもとでの $\frac{\mathbf{x}^{\mathrm{T}}B\mathbf{x}}{\mathbf{x}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}}$ の最小値を求めよ。導出の過程を省略し, 答えのみ示せ。

ただし, $n,m$ は正の整数, $\mathbf{x}$は $n$ 次元実ベクトル, $\mathrm{T}$ は転置とする。

問3

実正方行列 $C$ を

$$C = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \\ \end{pmatrix}$$

とする。行列 $C$ の固有値を $\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3 \ (\gamma_1 < \gamma_2 < \gamma_3)$ とする。このとき, 以下の問に答えよ。

(1) 以下を $\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$ を用いて示せ。導出の過程を省略し, 答えのみ示せ。

$$\sum_{1 \le i < j \le 3}(c_{ii}c_{jj} - c_{ij}c_{ji})$$

(2) 以下が成立することを示せ。ただし, $e$ は自然対数の底, $k!=k \cdot (k-1) \cdots 2 \cdot 1$ は $k$ の階乗, $\det$ は行列式とする。導出の過程を示せ。

$$\det \bigg(\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!}C^{k}\bigg) = e^{\gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3}$$

题目描述

回答以下三组问题。

1. 给定

$$A=\begin{pmatrix}\alpha&\beta\\1-\alpha&1-\beta\end{pmatrix}, \qquad0<\alpha,\beta<1.$$

本组省略推导、只写答案：

1. 求按 $\lambda_1<\lambda_2$ 排列的两个特征值；
2. 求分别对应 $\lambda_1,\lambda_2$ 的特征向量 $\boldsymbol x_1,\boldsymbol x_2$；
3. 对正整数 $n$，求 $\lim_{n\to\infty}A^n$。
4. 设 $B$ 为 $n\times n$ 实对称矩阵，特征值、对应特征向量为

$$\mu_1<\mu_2<\cdots<\mu_n,\qquad \boldsymbol v_1,\ldots,\boldsymbol v_n.$$

1. 在 $\boldsymbol x\ne0$ 下求 Rayleigh 商

$$\frac{\boldsymbol x^TB\boldsymbol x} {\boldsymbol x^T\boldsymbol x}$$

  的最小值，并给出推导；

2. 再加约束

$$\boldsymbol x^T\boldsymbol v_i=0 \quad(i=1,\ldots,m,\ 1\le m<n),$$

  求最小值，本小问只写答案。

3. 给定实矩阵

$$C=(c_{ij})_{1\le i,j\le3}$$

及互异实特征值 $\gamma_1<\gamma_2<\gamma_3$：

1. 只写答案，用 $\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$ 表示

$$\sum_{1\le i<j\le3}(c_{ii}c_{jj}-c_{ij}c_{ji});$$

2. 给出推导，证明

$$\det\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac1{k!}C^k\right) =e^{\gamma_1+\gamma_2+\gamma_3}.$$

Kai

問1

(1) $\boxed{\lambda_1=\alpha-\beta,\quad\lambda_2=1}$。

(2) 例えば

$$x_1=\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix},\qquad x_2=\begin{pmatrix}\beta\\1-\alpha\end{pmatrix}.$$

(3)

$$\boxed{\lim_{n\to\infty}A^n= \frac1{1-\alpha+\beta}\begin{pmatrix}\beta&\beta\\1-\alpha&1-\alpha\end{pmatrix}.}$$

問2

(1) 固有ベクトルを正規化して正規直交基底 $u_1,\ldots,u_n$ とし、$x=\sum_i d_i u_i$ とおく。すると

$$\frac{x^{\mathsf T}Bx}{x^{\mathsf T}x} =\frac{\sum_i\mu_i d_i^2}{\sum_i d_i^2}\ge\mu_1.$$

$x=u_1$ で等号が成立するので最小値は $\boxed{\mu_1}$。

(2) $\boxed{\mu_{m+1}}$。

問3

(1)

$$\boxed{\gamma_1\gamma_2+\gamma_2\gamma_3+\gamma_3\gamma_1}.$$

(2) 固有値は相異なるから、可逆行列 $P$ を用いて $C=PDP^{-1}$、$D=\operatorname{diag}(\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)$ と書ける。行列指数級数は絶対収束するので、

$$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C^k}{k!} =P\operatorname{diag}(e^{\gamma_1},e^{\gamma_2},e^{\gamma_3})P^{-1}.$$

両辺の行列式をとり、

$$\boxed{\det\left(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{C^k}{k!}\right) =e^{\gamma_1+\gamma_2+\gamma_3}.}$$