東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2021年8月実施 専門基礎科目 2.1 線形代数

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Author

之遥

Description

以下の問に答えよ。

問1

実正方行列 $A$ を

$$A = \begin{pmatrix} \alpha & \beta \\ 1 - \alpha & 1 - \beta \\ \end{pmatrix}$$

とする。ただし $0 < \alpha < 1 ,0 < \beta < 1$ とする。このとき, 以下の問に答えよ。導出の過程を省略し, 答えのみを示せ。

(1) 行列 $A$ の固有値 $\lambda_1,\lambda_2$ を求めよ。ただし, $\lambda_1 < \lambda_2$ とする。

(2) 行列 $A$ の固有ベクトル $\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2$ を求めよ。ただし, 固有値 $\lambda_1,\lambda_2$ に対応する固有ベクトルをそれぞれ $\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2$ とする。

(3) 正の整数 $n$ に対して, $\lim_{n \rightarrow \infty} A^n$ を求めよ。

問2

$n \times n$実対称行列 $B$ の固有値を $\mu_1,\mu_2,\dots,\mu_n(\mu_1 < \mu_2 < \cdots < \mu_n)$ とし, 対応する固有ベクトルをそれぞれ $\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\dots,\mathbf{v}_n$ とする。このとき, 以下の問に答えよ。

(1) $\mathbf{x} \neq 0$ の制約のもとでの $\frac{\mathbf{x}^{\mathrm{T}}B\mathbf{x}}{\mathbf{x}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}}$ の最小値を求めよ。答えに加えて, 導出の過程を示せ。

(2) $\mathbf{x} \neq 0,\mathbf{x}^{\mathrm{T}}\mathbf{v}_i = 0(i = 1,2,\dots,m,1 \le m < n)$ の制約のもとでの $\frac{\mathbf{x}^{\mathrm{T}}B\mathbf{x}}{\mathbf{x}^{\mathrm{T}}\mathbf{x}}$ の最小値を求めよ。導出の過程を省略し, 答えのみ示せ。

ただし, $n,m$ は正の整数, $\mathbf{x}$は $n$ 次元実ベクトル, $\mathrm{T}$ は転置とする。

問3

実正方行列 $C$ を

$$C = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \\ \end{pmatrix}$$

とする。行列 $C$ の固有値を $\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3 \ (\gamma_1 < \gamma_2 < \gamma_3)$ とする。このとき, 以下の問に答えよ。

(1) 以下を $\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3$ を用いて示せ。導出の過程を省略し, 答えのみ示せ。

$$\sum_{1 \le i < j \le 3}(c_{ii}c_{jj} - c_{ij}c_{ji})$$

(2) 以下が成立することを示せ。ただし, $e$ は自然対数の底, $k!=k \cdot (k-1) \cdots 2 \cdot 1$ は $k$ の階乗, $\det$ は行列式とする。導出の過程を示せ。

$$\det \bigg(\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!}C^{k}\bigg) = e^{\gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3}$$

---

Answer the following questions.

(Q.1) Consider a real square matrix A given by

$$A = \left(\begin{array}{cc} \alpha & \beta \\ 1 - \alpha & 1 - \beta \end{array}\right),$$

where $0 < \alpha < 1$ , $0 < \beta < 1$ . Answer the following questions. Omit the derivations and write only the answers.

• (1) Obtain the eigenvalues $\lambda_1$ and $\lambda_2$ ( $\lambda_1 < \lambda_2$ ) of matrix A.
• (2) Obtain the eigenvectors $\mathbf{x}_1$ and $\mathbf{x}_2$ of matrix A. $\mathbf{x}_1$ and $\mathbf{x}_2$ correspond to $\lambda_1$ and $\lambda_2$ , respectively.
• (3) Obtain $\lim_{n\to\infty} A^n$ , where n is a positive integer.
• (Q.2) Consider an $n \times n$ real symmetric matrix B with the eigenvalues $\mu_1, \mu_2, \ldots, \mu_n$ ( $\mu_1 < \mu_2 < \ldots < \mu_n$ ) and the corresponding eigenvectors $\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2, \ldots, \boldsymbol{v}_n$ .

  • (1) Under the constraint of $x \neq 0$ , obtain the minimum of $\frac{x^{\top}Bx}{x^{\top}x}$ . Show the derivations in addition to the answers.

  • (2) Under the constraint of $x \neq \mathbf{0}$ and $\mathbf{x}^{\top}\mathbf{v}_{i} = 0$ ( $i = 1, 2, ..., m, 1 \leq m < n$ ), obtain the minimum of $\frac{\mathbf{x}^{\top}B\mathbf{x}}{\mathbf{x}^{\top}\mathbf{x}}$ .

    Omit the derivations and write only the answers.

Note that n and m are positive integers, $\boldsymbol{x}$ is an n-dimensional real vector, and $\top$ is a transpose.

(Q.3) Consider a real square matrix C given by

$$C = \begin{pmatrix} c_{11} & c_{12} & c_{13} \\ c_{21} & c_{22} & c_{23} \\ c_{31} & c_{32} & c_{33} \end{pmatrix}.$$

Assume the eigenvalues of matrix C are $\gamma_1$ , $\gamma_2$ , and $\gamma_3$ ( $\gamma_1 < \gamma_2 < \gamma_3$ ). Answer the following questions.

(1) Express the following in terms of $\gamma_1$ , $\gamma_2$ , and $\gamma_3$ :

$$\sum_{1 \le i < j \le 3} (c_{ii}c_{jj} - c_{ij}c_{ji}).$$

Omit the derivations and write only the answer.

(2) Show that the following holds:

$$\det\left(\sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} C^k\right) = e^{\gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3},$$

where e is the base of the natural logarithm, $k! = k \cdot (k - 1) \cdots 2 \cdot 1$ is the factorial of k, and det is the determinant. Show the derivations.

Kai

問1

(1)

$$\lambda_1 = \alpha - \beta ,\lambda_2 = 1$$

(2)

$$x_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1\end{bmatrix} ,\quad x_2 = \begin{bmatrix} \beta \\ 1 - \alpha\end{bmatrix}$$

(3)

$$\lim_{n \rightarrow \infty}A^{n} = \frac{1}{1 - \alpha + \beta} \begin{bmatrix} \beta & \beta \\ 1 - \alpha & 1 - \alpha \\ \end{bmatrix}$$

問2

(1)

$$\text{B is symmetric ,then }v_i \text{ is perpendicular to } v_j \text{ for } i \neq j,\quad i,j=1,2,\cdots,n$$

$$\text{Let } q_i = \frac{v_i}{||v_i||}, \text{ then } Q = [q_1 \cdots q_n] \text{ is a orthogonal matrix.}$$

$$\frac{x^{\mathrm{T}}Bx}{x^{\mathrm{T}}x} = \frac{x^\mathrm{T}Q\Lambda Q^{\mathrm{T}}x}{x^{\mathrm{T}}QQ^{\mathrm{T}}x} = \frac{(x^{\mathrm{T}}Q)\Lambda(Q^{\mathrm{T}}x)}{(x^{\mathrm{T}}Q)(Q^{\mathrm{T}}x)}$$

$$\text{Let }Q^{\mathrm{T}}x = c = \begin{bmatrix} c_1 \\ \vdots \\ c_n \end{bmatrix} ,\text{then } x^{\mathrm{T}}Q = c^{\mathrm{T}} = [c_1 \cdots c_n]$$

$$\frac{x^\mathrm{T}Bx}{x^\mathrm{T}x} = \frac{c^{\mathrm{T}}\Lambda c}{c^{\mathrm{T}}c} = \frac{c_1 ^2 \mu_1 + \cdots c_{n}^2\mu_n}{c_1 ^2 + \cdots + c_{n}^2} \ge \frac{c_1^2\mu_1 + \cdots + c_{n}^2\mu_1}{c_1 ^2 + \cdots + c_{n}^2} = \frac{\mu_1(c_1 ^2 + \cdots + c_{n}^2)}{c_1 ^2 + \cdots + c_n^2} = \mu_1$$

$$\text{The minimum }\mu_1 \text{ is obtained when } c_1 = 1,c_2=c_3=\cdots=c_n=0.$$

(2)

$$x^{\mathrm{T}}v_i = 0,\text{ then }x^{\mathrm{T}}q_i = 0$$

$$\begin{aligned} \frac{x^{\mathrm{T}}Bx}{x^{\mathrm{T}}x} &= \frac{(x^{\mathrm{T}}Q)\Lambda(Q^{\mathrm{T}}x)}{(x^{\mathrm{T}}Q)(Q^{\mathrm{T}}x)} = \frac{c_{m+1}^2\mu_{m+1} + \cdots +c_{n}^2\mu_n}{c_{m+1}^2 + \cdots + c_n^2} \ge \frac{c_{m+1}^2\mu_{m+1} + \cdots + c_n^2\mu_1}{c_{m+1}^2 + \cdots + c_n^2} \\ &= \frac{\mu_{m+1}(c_{m+1}^2 + \cdots + c_{n}^2)}{c_{m+1}^2 + \cdots + c_n^2} = \mu_{m+1} \end{aligned}$$

$$\text{The minimum }\mu_{m+1} \text{ is obtained when }c_{m+1}=1,c_{m+2}=c_{m+3}=\cdots=c_{n} = 0$$

問3

(1)

$$\gamma_1\gamma_2 + \gamma_2\gamma_3 + \gamma_1\gamma_3$$

(2)

$$\begin{aligned} &\det\bigg(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}C^k\bigg) = \det\bigg(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}(X\Lambda X^{-1})^k\bigg) = \det\bigg(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}X\Lambda ^k X^{-1}\bigg) \\ &= \det(X) \det\bigg(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\Lambda^k\bigg)\det(X^{-1}) = \det\bigg(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{k!}\Lambda^k\bigg) \\ &= \begin{vmatrix} e^{\gamma_1} & & \\ & e^{\gamma_2} & \\ & & e^{\gamma_3} \\ \end{vmatrix} = e^{\gamma_1 + \gamma_2 + \gamma_3} \end{aligned}$$