東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2021年8月実施 専門基礎科目 2.1 線形代数

Author

之遥

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以下の問に答えよ。

問1

実正方行列 を

とする。ただし とする。このとき, 以下の問に答えよ。導出の過程を省略し, 答えのみを示せ。

(1) 行列 の固有値 を求めよ。ただし, とする。

(2) 行列 の固有ベクトル を求めよ。ただし, 固有値 に対応する固有ベクトルをそれぞれ とする。

(3) 正の整数 に対して, を求めよ。

問2

実対称行列 の固有値を とし, 対応する固有ベクトルをそれぞれ とする。このとき, 以下の問に答えよ。

(1) の制約のもとでの の最小値を求めよ。答えに加えて, 導出の過程を示せ。

(2) の制約のもとでの の最小値を求めよ。導出の過程を省略し, 答えのみ示せ。

ただし, は正の整数, は 次元実ベクトル, は転置とする。

問3

実正方行列 を

とする。行列 の固有値を とする。このとき, 以下の問に答えよ。

(1) 以下を を用いて示せ。導出の過程を省略し, 答えのみ示せ。

(2) 以下が成立することを示せ。ただし, は自然対数の底, は の階乗, は行列式とする。導出の過程を示せ。

Kai

問1

(1)

(2)

(3)

問2

(1)

(2)

問3

(1)

(2)