東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2021年8月実施 専門基礎科目 1.1 微分積分

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Author

之遥, 祭音Myyura

Description

以下の問に答えよ。すべての定数と変数は実数、関数は実関数とする。導出の過程を省略し、答えのみ示せ。

問1

関数 $y(x)$ が満たす次の微分方程式を考える。

$$\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 3\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + 2y = f(x)$$

(1) $f(x) = 0$ のときの解を求めよ。任意定数として $C_1,C_2$ を用いること。

(2) $f(x) = e^{2x}$ のときの解を求めよ。$e$ は自然対数の底である。

問2

関数 $y(x)$ が満たす次の微分方程式を考える。

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x + y - 1}{x + y + 1}$$

(1) $x + y = u$ と変数変換するとき, $x$ と $u$ が満たす, $y$ を含まない微分方程式を求めよ。

(2) 微分方程式を解いて, $x = f(u)$ を満たす関数 $f(u)$ を求めよ。任意定数として $C$ を用いること。

問3

次の不定積分を求め, 空欄に入る式を書け。$a$ は $0$ でない定数である。

$$\int e^{x}\sin ax \text{d}x = \boxed{\text{ 空欄 }} (\sin ax - a\cos ax)$$

問4

$xy$ 直交座標系上の以下の方程式によって表される楕円を考える。$a,b$ は $0$ でない正の定数である。

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

(1) この楕円の接線の方程式を求めよ。ただし接点の座標を変数 $\theta$ を用いて $(a\cos\theta,b\sin\theta)$ とおく。

(2) この接線が $x$ 軸, $y$ 軸と交わる点をそれぞれ $A,B$ とする。線分 $AB$ の長さの最小値を求めよ。

問5

問 $4$ の楕円で囲まれた領域 $D$ における以下の重積分を考える。　

$$\iint_{D} (x^2 + y^2) \text{d}x\text{d}y$$

(1) 変数 $r,\theta$ を用いて以下の変数変換を行うときのヤコビアンを求めよ。

$$x = ar\cos\theta ,\quad y = br \sin\theta$$

(2) 上の重積分を計算せよ。

题目描述

以下所有常数、变量及函数均为实数；省略推导，只写答案。

1. 对

$$y''+3y'+2y=f(x),$$

分别求：

1. $f(x)=0$ 时的通解，任意常数记为 $C_1,C_2$；
2. $f(x)=e^{2x}$ 时的通解，其中 $e$ 为自然对数底。
3. 对

$$\frac{dy}{dx}=\frac{x+y-1}{x+y+1},$$

1. 作变量替换 $u=x+y$，写出只含 $x,u$ 而不含 $y$ 的微分方程；
2. 解该方程并求满足 $x=f(u)$ 的函数，任意常数记为 $C$。
3. $a\ne0$，计算不定积分并填写空格：

$$\int e^x\sin(ax)\,dx =\boxed{\phantom{expression}}\bigl(\sin(ax)-a\cos(ax)\bigr).$$

4. 对 $a,b>0$ 的椭圆

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1:$$

1. 以接点 $(a\cos\theta,b\sin\theta)$ 写出切线方程；
2. 若切线与 $x,y$ 轴的交点分别为 $A,B$，求线段 $AB$ 的最小长度。
3. 令 $D$ 为上述椭圆围成的区域：
   1. 对变换

$$x=ar\cos\theta,\qquad y=br\sin\theta$$

  求 Jacobian；

2. 计算

$$\iint_D(x^2+y^2)\,dx\,dy.$$

Kai

問1

(1)

$$y=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}.$$

(2)

$$y=C_1e^{-x}+C_2e^{-2x}+\frac1{12}e^{2x}.$$

問2

(1)

$$\frac{du}{dx}=\frac{2u}{u+1}\qquad(u\ne-1).$$

(2)

$$x=f(u)=\frac12\bigl(u+\log|u|\bigr)+C\qquad(u\ne0,-1).$$

別に定数解 $u=0$（$y=-x$）がある。

問3

$$\boxed{\frac{e^x}{1+a^2}}.$$

問4

(1)

$$\frac{x\cos\theta}{a}+\frac{y\sin\theta}{b}=1.$$

(2)

$$\boxed{a+b}.$$

問5

(1) $\boxed{J=abr}$。

(2)

$$\boxed{\frac{\pi ab}{4}(a^2+b^2)}.$$