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東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2021年8月実施 専門基礎科目 1.1 微分積分

Author

之遥

Description

以下の問に答えよ。すべての定数と変数は実数、関数は実関数とする。導出の過程を省略し、答えのみ示せ。

問1

関数 が満たす次の微分方程式を考える。

(1) のときの解を求めよ。任意定数として を用いること。

(2) のときの解を求めよ。 は自然対数の底である。

問2

関数 が満たす次の微分方程式を考える。

(1) と変数変換するとき, が満たす, を含まない微分方程式を求めよ。

(2) 微分方程式を解いて, を満たす関数 を求めよ。任意定数として を用いること。

問3

次の不定積分を求め, 空欄に入る式を書け。 でない定数である。

問4

直交座標系上の以下の方程式によって表される楕円を考える。 でない正の定数である。

(1) この楕円の接線の方程式を求めよ。ただし接点の座標を変数 を用いて とおく。

(2) この接線が 軸, 軸と交わる点をそれぞれ とする。線分 の長さの最小値を求めよ。

問5

の楕円で囲まれた領域 における以下の重積分を考える。 

(1) 変数 を用いて以下の変数変換を行うときのヤコビアンを求めよ。

(2) 上の重積分を計算せよ。

Kai

問1

(1)

(2)

問2

(1)

(2)

問3

問4

(1)

(2)

問5

(1)

(2)