東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2021年8月実施 専門基礎科目 1.1 微分積分

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之遥

Description

以下の問に答えよ。すべての定数と変数は実数、関数は実関数とする。導出の過程を省略し、答えのみ示せ。

問1

関数 $y(x)$ が満たす次の微分方程式を考える。

$$\frac{\text{d}^2y}{\text{d}x^2} + 3\frac{\text{d}y}{\text{d}x} + 2y = f(x)$$

(1) $f(x) = 0$ のときの解を求めよ。任意定数として $C_1,C_2$ を用いること。

(2) $f(x) = e^{2x}$ のときの解を求めよ。$e$ は自然対数の底である。

問2

関数 $y(x)$ が満たす次の微分方程式を考える。

$$\frac{\text{d}y}{\text{d}x} = \frac{x + y - 1}{x + y + 1}$$

(1) $x + y = u$ と変数変換するとき, $x$ と $u$ が満たす, $y$ を含まない微分方程式を求めよ。

(2) 微分方程式を解いて, $x = f(u)$ を満たす関数 $f(u)$ を求めよ。任意定数として $C$ を用いること。

問3

次の不定積分を求め, 空欄に入る式を書け。$a$ は $0$ でない定数である。

$$\int e^{x}\sin ax \text{d}x = \boxed{\text{ 空欄 }} (\sin ax - a\cos ax)$$

問4

$xy$ 直交座標系上の以下の方程式によって表される楕円を考える。$a,b$ は $0$ でない正の定数である。

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$$

(1) この楕円の接線の方程式を求めよ。ただし接点の座標を変数 $\theta$ を用いて $(a\cos\theta,b\sin\theta)$ とおく。

(2) この接線が $x$ 軸, $y$ 軸と交わる点をそれぞれ $A,B$ とする。線分 $AB$ の長さの最小値を求めよ。

問5

問 $4$ の楕円で囲まれた領域 $D$ における以下の重積分を考える。　

$$\iint_{D} (x^2 + y^2) \text{d}x\text{d}y$$

(1) 変数 $r,\theta$ を用いて以下の変数変換を行うときのヤコビアンを求めよ。

$$x = ar\cos\theta ,\quad y = br \sin\theta$$

(2) 上の重積分を計算せよ。

---

Answer the following questions. All constants and variables are real numbers. All functions are real functions. Omit the derivations and write only the answers.

(Q.1) Let y(x) be a function satisfying the differential equation

$$\frac{\mathrm{d}^2 y}{\mathrm{d}x^2} + 3\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + 2y = f(x).$$

• (1) Obtain the solution for f(x) = 0. Use $C_1$ and $C_2$ for arbitrary constants.
• (2) Obtain the solution for $f(x) = e^{2x}$ . e is the base of the natural logarithm.
• (Q.2) Let y(x) be a function satisfying the differential equation

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \frac{x+y-1}{x+y+1}.$$

• (1) Changing variables as x + y = u, obtain the differential equation that x and u satisfy and y is not included.
• (2) Obtain the function f(u) that satisfies x = f(u) by solving the differential equation. Use C for an arbitrary constant.

(Q.3) Calculate the following indefinite integral and write down the expression that fills the blank space. a is a non-zero constant.

$$\int e^x \sin ax \, dx = \boxed{ (\sin ax - a \cos ax)}.$$

(Q.4) Consider an ellipse on a xy Cartesian coordinate system:

$$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1,$$

where a and b are non-zero positive constants.

• (1) Obtain the equation of the tangent line of the ellipse. The tangent point is expressed as $(a\cos\theta, b\sin\theta)$ using a variable $\theta$ .
• (2) Let the points where the tangent line intersects the x-axis and y-axis be A and B, respectively. Find the minimum length of the line segment AB.
• (Q.5) Consider the following multiple integral over the region D enclosed by the ellipse given in (Q.4):

$$\iint_{\mathcal{D}} (x^2 + y^2) \, \mathrm{d}x \mathrm{d}y.$$

(1) Obtain the Jacobian for the change of variables using r and $\theta$ :

$$x = ar\cos\theta, \quad y = br\sin\theta.$$

(2) Calculate the multiple integral above.

题目描述

以下所有常数、变量及函数均为实数；省略推导，只写答案。

1. 对
   $$y''+3y'+2y=f(x),$$
   分别求：
   1. $f(x)=0$ 时的通解，任意常数记为 $C_1,C_2$；
   2. $f(x)=e^{2x}$ 时的通解，其中 $e$ 为自然对数底。
2. 对
   $$\frac{dy}{dx}=\frac{x+y-1}{x+y+1},$$
   1. 作变量替换 $u=x+y$，写出只含 $x,u$ 而不含 $y$ 的微分方程；
   2. 解该方程并求满足 $x=f(u)$ 的函数，任意常数记为 $C$。
3. $a\ne0$，计算不定积分并填写空格：
   $$\int e^x\sin(ax)\,dx =\boxed{\phantom{expression}}\bigl(\sin(ax)-a\cos(ax)\bigr).$$
4. 对 $a,b>0$ 的椭圆
   $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1:$$
   1. 以接点 $(a\cos\theta,b\sin\theta)$ 写出切线方程；
   2. 若切线与 $x,y$ 轴的交点分别为 $A,B$，求线段 $AB$ 的最小长度。
5. 令 $D$ 为上述椭圆围成的区域：
   1. 对变换
      $$x=ar\cos\theta,\qquad y=br\sin\theta$$
      求 Jacobian；
   2. 计算
      $$\iint_D(x^2+y^2)\,dx\,dy.$$

Kai

問1

(1)

$$y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}$$

(2)

$$y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + \frac{1}{12} e^{2x}$$

問2

(1)

$$\frac{\text{d}u}{\text{d}x} = \frac{2u}{u + 1}$$

(2)

$$x = \frac{1}{2}(u + \ln|u| + C)$$

問3

$$\frac{1}{a^2 + 1}e^{x}$$

問4

(1)

$$\frac{x\cos\theta}{a} + \frac{y\sin\theta}{b} = 1$$

(2)

$$a + b$$

問5

(1)

$$J = abr$$

(2)

$$\frac{\pi ab}{4}(a^2 + b^2)$$