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東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2019年8月実施 専門基礎科目 第4問

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Author​

Miyake

Description​

题目描述​

原 Description 为空。以下仅重组现有 Kai 能唯一确认的内容；其中第 4 问只留下答案“8:39”，没有任何条件或求解过程，无法恢复题意。

  1. Kai 处理了均值为 μ\mu、标准差为 σ\sigma 的随机变量 XX 的线性标准化：求实数 α,β\alpha,\beta，使 αX+β\alpha X+\beta 的均值为 0、方差为 1，并分别讨论 α>0\alpha>0 与 α<0\alpha<0。
  2. Kai 先由积分推导正态变量
    X∼N(μ,σ2)X\sim N(\mu,\sigma^2)
    的矩母函数，再对相互独立的
    X1∼N(μ1,σ12),X2∼N(μ2,σ22)X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),\qquad X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)
    求 aX1+bX2aX_1+bX_2 的矩母函数，并将其写成 exp⁡(At2+Bt+C)\exp(At^2+Bt+C) 的形式以确定 A,B,CA,B,C。
  3. Kai 给出“通学路线 1”的时间分布为 N(65,45)N(65,45)，把超过 75 的概率标准化为标准正态右尾 P(X0≥1.51)P(X_0\ge1.51)，并用给定表格界定在 5.0%5.0\% 与 7.5%7.5\% 之间。原题要求的近似精度和所附正态表未保留。
  4. 现有 Kai 仅记答案 8:39；缺少出发时间、迟到阈值、概率要求等全部题设，无法唯一还原该小问。
  5. Kai 使用相互独立的两条通学路线时间
    P1∼N(65,45),P2∼N(55,144),P_1\sim N(65,45),\qquad P_2\sim N(55,144),
    从而令 ΔT=P1−P2∼N(10,189)\Delta T=P_1-P_2\sim N(10,189)，并估计 P(ΔT>25)P(\Delta T>25) 在 10%10\% 与 16%16\% 之间。原题所附标准正态概率界的完整表格未留存。

Kai​

（問1）​

与えられた条件より、

0=αμ+β,    1=α2σ2\begin{aligned} 0 = \alpha \mu + \beta , \ \ \ \ 1 = \alpha^2 \sigma^2 \end{aligned}

であるから、

α>0\alpha \gt 0 とすると、

α=1σ,    β=−αμ=−μσ\begin{aligned} \alpha = \frac{1}{\sigma} , \ \ \ \ \beta = - \alpha \mu = - \frac{\mu}{\sigma} \end{aligned}

であり、

α<0\alpha \lt 0 とすると、

α=−1σ,    β=−αμ=μσ\begin{aligned} \alpha = - \frac{1}{\sigma} , \ \ \ \ \beta = - \alpha \mu = \frac{\mu}{\sigma} \end{aligned}

である。

（問2）​

まず、 平均 μ\mu 、標準偏差 σ\sigma の確率変数 XX の モーメント母関数 MX(t)M_X(t) は、次のように求められる：

MX(t)=EX[exp⁡(tX)]=12πσ2∫−∞∞exp⁡(−(x−μ)22σ2)exp⁡(tx)dx=exp⁡(μt+σ2t22)2πσ2∫−∞∞exp⁡(−{x−(μ−σ2t)}22σ2)dx=exp⁡(μt+σ2t22).\begin{aligned} M_X(t) &= E_X \left[ \exp (tX) \right] \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty \exp \left(- \frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2} \right) \exp \left( tx \right) dx \\ &= \frac{\exp \left( \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right) } {\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty \exp \left(- \frac {\left\{ x - (\mu - \sigma^2 t) \right\}^2 }{2 \sigma^2} \right) dx \\ &= \exp \left( \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right) . \end{aligned}

そこで、 X1X_1 と X2X_2 が独立であることを考慮して、

MaX1+bX2(t)=EX1[exp⁡(taX1)]EX2[exp⁡(tbX2)]=exp⁡(μ1ta+σ12t2a22)exp⁡(μ2tb+σ22t2b22)=exp⁡(a2σ12+b2σ222t2+(aμ1+bμ2)t)\begin{aligned} M_{aX_1+bX_2}(t) &= E_{X_1} \left[ \exp (taX_1) \right] E_{X_2} \left[ \exp (tbX_2) \right] \\ &= \exp \left( \mu_1 ta + \frac{\sigma_1^2 t^2 a^2}{2} \right) \exp \left( \mu_2 tb + \frac{\sigma_2^2 t^2 b^2}{2} \right) \\ &= \exp \left( \frac{a^2 \sigma_1^2 + b^2 \sigma_2^2 }{2} t^2 + (a \mu_1 + b \mu_2 ) t \right) \end{aligned}

であるから、

A=a2σ12+b2σ222,    B=aμ1+bμ2,    C=0\begin{aligned} A = \frac{a^2 \sigma_1^2 + b^2 \sigma_2^2 }{2} , \ \ \ \ B = a \mu_1 + b \mu_2 , \ \ \ \ C = 0 \end{aligned}

を得る。

（問3）​

通学路1 ∼N(65,45)\sim N(65, 45)

Pr⁡(t−6545≥75−6545)=Pr⁡(X0≥1.51)\Pr \big(\frac{t-65}{\sqrt{45}} \ge \frac{75-65}{\sqrt{45}} \big) = \Pr (X_0 \ge 1.51)
∵ 1.44≤1.51≤1.65∴5.0%≤Pr⁡(X0≥1.51)≤7.5%\begin{aligned} &\because \ 1.44 \le 1.51 \le 1.65 \\ &\therefore 5.0\% \le \Pr (X_0 \ge 1.51) \le 7.5\% \end{aligned}

（問4）​

8:39

（問5）​

通学路1 P1P_1 ∼N(65,45)\sim N(65, 45) と　通学路2 P2P_2 ∼N(55,144)\sim N(55, 144)　より

ΔT=P1−P2∼N(10,189)\Delta T = P_1 - P_2 \sim N(10, 189)

であるから、

Pr⁡(ΔT>25)=Pr⁡(ΔT−10189>15189)∵      1<15189<1.28∴      10%<Pr⁡(ΔT>25)<16%\begin{aligned} &\Pr (\Delta T > 25) = \Pr \big(\frac{\Delta T-10}{\sqrt{189}} > \frac{15}{\sqrt{189}} \big) \\ &\because \ \ \ \ \ \ 1 < \frac{15}{\sqrt{189}} < 1.28 \\ &\therefore \ \ \ \ \ \ 10\% < \Pr(\Delta T > 25) < 16\% \end{aligned}

を得る。

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