東京大学新領域創成科学研究科複雑理工学専攻 2019年8月実施専門基礎科目第4問

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与えられた条件より、

\begin{aligned} 0 = \alpha \mu + \beta , \ \ \ \ 1 = \alpha^2 \sigma^2 \end{aligned}

であるから、

$\alpha \gt 0$ とすると、

\begin{aligned} \alpha = \frac{1}{\sigma} , \ \ \ \ \beta = - \alpha \mu = - \frac{\mu}{\sigma} \end{aligned}

であり、

$\alpha \lt 0$ とすると、

\begin{aligned} \alpha = - \frac{1}{\sigma} , \ \ \ \ \beta = - \alpha \mu = \frac{\mu}{\sigma} \end{aligned}

である。

まず、平均 $\mu$ 、標準偏差 $\sigma$ の確率変数 $X$ のモーメント母関数 $M_X(t)$ は、次のように求められる：

\begin{aligned} M_X(t) &= E_X \left[ \exp (tX) \right] \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty \exp \left(- \frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2} \right) \exp \left( tx \right) dx \\ &= \frac{\exp \left( \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right) } {\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty \exp \left(- \frac {\left\{ x - (\mu - \sigma^2 t) \right\}^2 }{2 \sigma^2} \right) dx \\ &= \exp \left( \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right) . \end{aligned}

そこで、 $X_1$ と $X_2$ が独立であることを考慮して、

\begin{aligned} M_{aX_1+bX_2}(t) &= E_{X_1} \left[ \exp (taX_1) \right] E_{X_2} \left[ \exp (tbX_2) \right] \\ &= \exp \left( \mu_1 ta + \frac{\sigma_1^2 t^2 a^2}{2} \right) \exp \left( \mu_2 tb + \frac{\sigma_2^2 t^2 b^2}{2} \right) \\ &= \exp \left( \frac{a^2 \sigma_1^2 + b^2 \sigma_2^2 }{2} t^2 + (a \mu_1 + b \mu_2 ) t \right) \end{aligned}

であるから、

\begin{aligned} A = \frac{a^2 \sigma_1^2 + b^2 \sigma_2^2 }{2} , \ \ \ \ B = a \mu_1 + b \mu_2 , \ \ \ \ C = 0 \end{aligned}

を得る。

通学路1 $\sim N(65, 45)$

\Pr \big(\frac{t-65}{\sqrt{45}} \ge \frac{75-65}{\sqrt{45}} \big) = \Pr (X_0 \ge 1.51)

\begin{aligned} &\because \ 1.44 \le 1.51 \le 1.65 \\ &\therefore 5.0\% \le \Pr (X_0 \ge 1.51) \le 7.5\% \end{aligned}

8:39

通学路1 $P_1$ $\sim N(65, 45)$ と　通学路2 $P_2$ $\sim N(55, 144)$ 　より

\Delta T = P_1 - P_2 \sim N(10, 189)

であるから、

\begin{aligned} &\Pr (\Delta T > 25) = \Pr \big(\frac{\Delta T-10}{\sqrt{189}} > \frac{15}{\sqrt{189}} \big) \\ &\because \ \ \ \ \ \ 1 < \frac{15}{\sqrt{189}} < 1.28 \\ &\therefore \ \ \ \ \ \ 10\% < \Pr(\Delta T > 25) < 16\% \end{aligned}

を得る。