東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2019年8月実施 専門基礎科目 第4問

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• Moment-Generating-Function
• Linear-Combination-of-Independent-Normals
• Normal-Standardization-and-Tail-Probability

Author

Miyake, 祭音Myyura

Description

Independent summary

Source: University of Tokyo, AY2020 examination, Problem 4, pp. 10–11.

All journey components below are independent normal variables. Times are in minutes.

Route	Component	Mean	Standard deviation
1	Walking	15	2
1	Train A	25	4
1	Bus A	25	5
2	Bicycle	25	4
2	Train B	15	8
2	Bus B	15	8

Use $f_X(x)=e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}/\sqrt{2\pi\sigma^2}$ and $M_X(t)=E[e^{tX}]$, with $\sigma>0$. The supplied standard-normal upper-tail table is:

$x_0$	1.00	1.28	1.44	1.65	1.96	2.33	2.58
$P(X_0\geq x_0)$	16%	10%	7.5%	5.0%	2.5%	1.0%	0.5%

1. Find $\alpha,\beta$ such that $\alpha X+\beta$ is standard normal.
2. For independent $X_i\sim N(\mu_i,\sigma_i^2)$, find $A,B,C$ in $M_{aX_1+bX_2}(t)=e^{At^2+Bt+C}$.
3. Select the interval containing $P(T_1\geq75)$.
4. Find the departure time on route 1 for arrival by 10 a.m. with probability 99%.
5. Select the interval containing $P(T_1-T_2\geq25)$.

Interval choices: 10–16%, 7.5–10%, 5.0–7.5%, 2.5–5.0%, 1.0–2.5%, 0.5–1.0%, 0.0–0.5%. You may use $\sqrt2\simeq1.4$, $\sqrt3\simeq1.7$, $\sqrt5\simeq2.2$, $\sqrt7\simeq2.6$.

题目描述

所有行程分量均为相互独立的正态随机变量，时间单位为分钟，标准差为正。

路线	分量	均值	标准差
1	步行	15	2
1	电车A	25	4
1	公交A	25	5
2	自行车	25	4
2	电车B	15	8
2	公交B	15	8

1. 考虑均值为 $\mu$、标准差为 $\sigma$ 的随机变量 $X$ 的线性标准化：求实数 $\alpha,\beta$，使 $\alpha X+\beta$ 的均值为 0、方差为 1，并分别讨论 $\alpha>0$ 与 $\alpha<0$。

2. 先由积分推导正态变量

   $$X\sim N(\mu,\sigma^2)$$

   的矩母函数，再对相互独立的

   $$X_1\sim N(\mu_1,\sigma_1^2),\qquad X_2\sim N(\mu_2,\sigma_2^2)$$

   求 $aX_1+bX_2$ 的矩母函数，并将其写成 $\exp(At^2+Bt+C)$ 的形式以确定 $A,B,C$。

3. 给定“通学路线 1”的时间分布为 $N(65,45)$，把超过 75 的概率标准化为标准正态右尾 $P(X_0\ge1.49)$，并用给定表格界定在 $5.0\%$ 与 $7.5\%$ 之间。根据下方所列正态右尾表选择概率区间。

4. 求通过路线1到达学校的概率为99%、到达时限为上午10时所对应的最晚出发时间。

5. 使用相互独立的两条通学路线时间

   $$P_1\sim N(65,45),\qquad P_2\sim N(55,144),$$

   从而令 $\Delta T=P_1-P_2\sim N(10,189)$，并估计 $P(\Delta T>25)$ 在 $10\%$ 与 $16\%$ 之间。从下列概率区间中选择。

标准正态右尾表：

$x_0$	1.00	1.28	1.44	1.65	1.96	2.33	2.58
$P(X_0\ge x_0)$	16%	10%	7.5%	5.0%	2.5%	1.0%	0.5%

概率区间选项为10–16%、7.5–10%、5.0–7.5%、2.5–5.0%、1.0–2.5%、0.5–1.0%、0.0–0.5%。可以使用 $\sqrt2\simeq1.4,\sqrt3\simeq1.7,\sqrt5\simeq2.2,\sqrt7\simeq2.6$。

Kai

（問1）

与えられた条件より、

$$\begin{aligned} 0 = \alpha \mu + \beta , \ \ \ \ 1 = \alpha^2 \sigma^2 \end{aligned}$$

であるから、

$\alpha \gt 0$ とすると、

$$\begin{aligned} \alpha = \frac{1}{\sigma} , \ \ \ \ \beta = - \alpha \mu = - \frac{\mu}{\sigma} \end{aligned}$$

であり、

$\alpha \lt 0$ とすると、

$$\begin{aligned} \alpha = - \frac{1}{\sigma} , \ \ \ \ \beta = - \alpha \mu = \frac{\mu}{\sigma} \end{aligned}$$

である。

（問2）

まず、 平均 $\mu$ 、標準偏差 $\sigma>0$ の正規確率変数 $X$ の モーメント母関数 $M_X(t)$ は、次のように求められる：

$$\begin{aligned} M_X(t) &= E_X \left[ \exp (tX) \right] \\ &= \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty \exp \left(- \frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2} \right) \exp \left( tx \right) dx \\ &= \frac{\exp \left( \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right) } {\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \int_{-\infty}^\infty \exp \left(- \frac {\left\{ x - (\mu + \sigma^2 t) \right\}^2 }{2 \sigma^2} \right) dx \\ &= \exp \left( \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2} \right) . \end{aligned}$$

そこで、 $X_1$ と $X_2$ が独立であることを考慮して、

$$\begin{aligned} M_{aX_1+bX_2}(t) &= E_{X_1} \left[ \exp (taX_1) \right] E_{X_2} \left[ \exp (tbX_2) \right] \\ &= \exp \left( \mu_1 ta + \frac{\sigma_1^2 t^2 a^2}{2} \right) \exp \left( \mu_2 tb + \frac{\sigma_2^2 t^2 b^2}{2} \right) \\ &= \exp \left( \frac{a^2 \sigma_1^2 + b^2 \sigma_2^2 }{2} t^2 + (a \mu_1 + b \mu_2 ) t \right) \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} A = \frac{a^2 \sigma_1^2 + b^2 \sigma_2^2 }{2} , \ \ \ \ B = a \mu_1 + b \mu_2 , \ \ \ \ C = 0 \end{aligned}$$

を得る。

（問3）

通学路1 $\sim N(65, 45)$

$$\Pr \big(\frac{t-65}{\sqrt{45}} \ge \frac{75-65}{\sqrt{45}} \big) \simeq \Pr (X_0 \ge 1.49)$$

$$\begin{aligned} &\because \ 1.44 \le 1.49 \le 1.65 \\ &\therefore 5.0\% \le \Pr (X_0 \ge 1.49) \le 7.5\% \end{aligned}$$

（問4）

出発から午前10時までの時間を $L$ 分とすると、

$$\Pr(T_1\leq L)=0.99,\qquad \frac{L-65}{\sqrt{45}}\simeq2.33.$$

従って $L\simeq65+2.33\sqrt{45}\simeq80.63$ 分であり、出発時刻は午前8時39分ごろである。分単位で少なくとも99%の到着確率を確保するなら、午前8時39分に出発する。

（問5）

通学路1 $P_1$ $\sim N(65, 45)$ と　通学路2 $P_2$ $\sim N(55, 144)$　より

$$\Delta T = P_1 - P_2 \sim N(10, 189)$$

であるから、

$$\begin{aligned} &\Pr (\Delta T > 25) = \Pr \big(\frac{\Delta T-10}{\sqrt{189}} > \frac{15}{\sqrt{189}} \big) \\ &\because \ \ \ \ \ \ 1 < \frac{15}{\sqrt{189}} < 1.28 \\ &\therefore \ \ \ \ \ \ 10\% < \Pr(\Delta T > 25) < 16\% \end{aligned}$$

を得る。