東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2019年8月実施 専門基礎科目 第2問

Author

Miyake, 之遥, 祭音Myyura

Description

以下のような 4 次の正方行列

を考え, を 4 次元実数ベクトル, すなわち とする. また, あるベクトル に直交し, 原点を含む超平面を とし, ある点 を中心とする半径 の超球面を とする. すなわち

とする. ただし, とし, である. また, は転置を表す. 以下の間に答えよ.

(問1) の固有値 と, 対応する固有ベクトル を求めよ.

(間2) の集合 は線形空間である. の次元と基底ベクトルを求めよ. ただし, 基底ベクトルは互いに直交していなくてもよい.

(問3) , とし, 超平面 と超球面 の距離 を, の最小値と定義する. すなわち

である. を を用いて表せ.

(間4) , , とし, と との距離 を, と の間の距離の最小値として以下のように定義する.

• (1) を, を用いて表せ.
• (2) とする. の最大値 を求めよ.

Kai

（問1）

の固有値を とすると、

が成り立つから、

である。

固有ベクトル を求めるため、次のようにおく：

よって、 を得るので、例えば、

とすればよい。

同様にして、例えば、

とすればよい。

（問2）

であるから、 の次元は3であり、

は の基底となる。

（問3）

（問4）

(1)

Let , since , we have .

Then,

Hence and are a orthogonal basis of .

Let , i.e., , then we have

When , we have

(2)

Let

Then we have

When , we have , which does not satisfy (v), hence .

Then solve the equations (i) ~ (v), we have

Hnece