東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2019年8月実施 専門基礎科目 第1問

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Author

Miyake

Description

以下の間に答えよ。ただし, $x,y,z,t,k$ は実数であるとする。

(間1)

関数 $f(x,y) = x^3 + y^2 - xy$ の偏導関数 $\frac{\partial f}{\partial x}$ と $\frac{\partial f}{\partial y}$を求めよ。また, 曲面 $z = f(x,y)$ の $(x,y,z) = (1,2,f(1,2))$ における接平面の方程式を求めよ。

(間2)

関数 $h(x) = \exp\{\exp(2x) - 1\}$ を $x = 0$ のまわりで $1$ 次の項までテイラー展開せよ。また, 極限

$$a = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{1 - h(x)}{x^k}$$

が存在し, $0 < |a| < \infty$ を満たすとき, $k$ と $a$ の値を求めよ.

(間3)

関数 $\cos^{-1}$ は $\cos$ の 逆関数で, $\cos^{-1}$ の 定義域と値域は, それぞれ, $[-1,1]$ と $[0,\pi]$ であるとする。曲線 $y = \cos^{-1}(x + \frac{1}{2})$ を描け。また, この曲線と $x$ 軸および $y$ 軸で囲まれる領域の面積を求めよ.

(間4)

実関数 $g(t)$ が満たす次の微分方程式の一般解を求めよ.

$$\frac{\text{d}^2g}{\text{d}t^2} + \frac{\text{d}g}{\text{d}t} + \sin t = 0$$

また, 初期値 $g(0) = 2,\frac{\text{d}g}{\text{d}t}(0)=0$ に対する特解を求めよ。

(間5)

$D = \{(x,y)|0 \le 2x - y \le 1,0 \le x + 3y \le 2\}$ とする。

変数変換 $u = 2x - y,v = x + 3y$ を用いて,次の重積分の値を求めよ。

$$\iint_{D} \frac{(2x - y)^3}{4 + (x + 3y)^2}\text{d}x\text{d}y$$

Kai

（問1）

偏導関数は、

$$\begin{aligned} \frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2-y , \ \ \ \ \frac{\partial f}{\partial y} = 2y-x \end{aligned}$$

である。

また、 $x=1,y=2$ のとき、

$$\begin{aligned} f(1,2)=3 , \ \ \ \ \frac{\partial f}{\partial x} (1,2) = 1 , \ \ \ \ \frac{\partial f}{\partial y} (1,2) = 3 \end{aligned}$$

であるから、 求める接平面は、点 $(1,2,3)$ を通り、法線ベクトル $(1,3,-1)$ を持つので、 その方程式は、

$$\begin{aligned} (x-1) + 3(y-2) - (z-3) = 0 \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \therefore \ \ \ \ x + 3y - z - 4 = 0 \end{aligned}$$

である。

（問2）

次のように計算できる：

$$\begin{aligned} h'(x) &= \exp \left\{ \exp (2x) - 1 \right\} \cdot \exp (2x) \cdot 2 \\ h(0) &= 1 \\ h'(0) &= 2 \end{aligned}$$

よって、 $h(x)$ は1次の項までで次のようにテイラー展開される：

$$\begin{aligned} h(x) = 1 + 2x + \cdots \end{aligned}$$

$h(x)$ の2次以上の項をまとめて $\varphi(x)$ とすると、

$$\begin{aligned} a &= \lim_{x \to 0} \frac{1 - h(x)}{x^k} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{-2x - \varphi(x)}{x^k} \end{aligned}$$

であるから、 $k \lt 1$ のときは $a=0$ であり、 $k \gt 1$ のときは発散する。 よって、極限が存在し $0 \lt |a| \lt \infty$ を満たすのは $k=1$ のときであり、このとき

$$\begin{aligned} a = -2 \end{aligned}$$

である。

（問3）

グラフは、このようになります。

求める面積は、

$$\begin{aligned} \int_0^{1/2} \cos^{-1} \left( x + \frac{1}{2} \right) dx = \int_0^{\pi / 3} \left( \cos x - \frac{1}{2} \right) dx = \left[ \sin x - \frac{1}{2} x \right]_0^{\pi / 3} = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\pi}{6} \end{aligned}$$

である。

（問4）

$h(t) = dg(t)/dt$ とすると、与えられた微分方程式は、次のように書ける：

$$\begin{align} \frac{dh(t)}{dt} + h(t) + \sin t = 0 \tag{1} \end{align}$$

そこで、

$$\begin{aligned} \frac{dh(t)}{dt} + h(t) = 0 \end{aligned}$$

を考えると、これの一般解は、積分定数を $A$ として、

$$\begin{aligned} h(x) = A e^{-t} \end{aligned}$$

と書ける。 そこで、式 ($1$) の解を次のよう形で探す：

$$\begin{aligned} h(x) = A(t) e^{-t} \end{aligned}$$

これを式 ($1$) に代入して整理すると、

$$\begin{aligned} A'(t) = - e^t \sin t \end{aligned}$$

よって、

$$\begin{aligned} A(t) = - \int e^t \sin t dt = - e^t \sin t + \int e^t \cos t dt = - e^t \sin t + e^t \cos t - \int e^t \sin t dt \end{aligned}$$

よって、

$$\begin{aligned} A(t) &= \frac{1}{2} \left( \cos t - \sin t \right) e^t + B \\ \therefore \ \ h(t) &= \frac{1}{2} \left( \cos t - \sin t \right) + B e^{-t} \\ \therefore \ \ g(t) &= \frac{1}{2} \left( \sin t + \cos t \right) - B e^{-t} + C \end{aligned}$$

ここで、 $B, C$ は積分定数である。

また、与えられた初期値を満たすのは、

$$\begin{aligned} B = - \frac{1}{2} , \ \ C = 1 \end{aligned}$$

すなわち、

$$\begin{aligned} g(t) = \frac{1}{2} \left( \sin t + \cos t \right) + \frac{1}{2} e^{-t} + 1 \end{aligned}$$

である。

（問5）

与えられた変数変換について、

$$\begin{aligned} \frac{\partial u}{\partial x} = 2 &, \ \ \frac{\partial u}{\partial y} = -1 \\ \frac{\partial v}{\partial x} = 1 &, \ \ \frac{\partial v}{\partial y} = 3 \end{aligned}$$

であるから、 $du dv = 7 dx dy$ であり、 与えられた積分は、

$$\begin{aligned} &\iint_D \frac{u^3}{4+v^2} \frac{du dv}{7} = \frac{1}{7} \int_0^1 u^3 du \int_0^2 \frac{dv}{4+v^2} \\ &= \frac{1}{7} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_0^1 \left[ \frac{1}{2} \arctan \frac{v}{2} \right]_0^2 = \frac{1}{7} \frac{1}{4} \frac{1}{2} \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{224} \end{aligned}$$

となる。