東京大学新領域創成科学研究科複雑理工学専攻 2018年8月実施専門基礎科目第4問

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$k$ と $n$ を $2$ 以上の整数とする。確率変数 $X \in \{1,2,\dots,k\}$ について, 事象 $X = a$ の確率が

\Pr[X = a] = \left\{ \begin{aligned} &2^{-a},&a = 1,2,\dots,k-1 \\ &2^{-(k-1)}, &a = k \\ \end{aligned} \right.

で与えられている。また, $X_1,X_2,\dots,X_n$ を互いに独立で $X$ と同じ分布に従う確率変数とする。　 $X_1,X_2,\dots,X_n$ のうちの最小値を $Y_n = \min\{X_1,X_2,\dots,X_n\}$ とする。以下の問に答えよ。

(問1) $k = 5$ とする。 $\Pr[X \ge a]$ を $a = 1,2,3,4,5$ に対して求めよ。

(問2) $k = 5$ とする。確率変数 $Z = 2^{X}$ の期待値と分散を求めよ。

(問3) $k$ を $2$ 以上の整数とする。 $\Pr[Y_n \ge a]$ を $a = 1,2,\dots,k$ に対して求めよ。

(問4) $k$ を $2$ 以上の整数とする。 $Y_n$ の期待値を求めよ。

令 $k,n\ge2$ 为整数，随机变量 $X\in\{1,2,\ldots,k\}$ 的分布为

P(X=a)= \begin{cases} 2^{-a},&a=1,\ldots,k-1,\\ 2^{-(k-1)},&a=k. \end{cases}

令 $X_1,\ldots,X_n$ 相互独立且与 $X$ 同分布，并定义最小次序统计量

Y_n=\min\{X_1,\ldots,X_n\}.

回答：

\Pr(X\ge1)=1,\quad\Pr(X\ge2)=\frac12,\quad \Pr(X\ge3)=\frac14,\quad\Pr(X\ge4)=\frac18,\quad \Pr(X\ge5)=\frac1{16}.

E[Z]=\sum_{a=1}^5 2^a\Pr(X=a)=6,\qquad E[Z^2]=\sum_{a=1}^5 4^a\Pr(X=a)=94.

したがって $V[Z]=94-6^2=\boxed{58}$ 。

$1\le a\le k$ で $\Pr(X\ge a)=2^{-(a-1)}$ 。独立性より

\Pr(Y_n\ge a)=\prod_{j=1}^n\Pr(X_j\ge a)=\boxed{2^{-n(a-1)}}.

正整数値をとる確率変数の尾確率和公式より、

E[Y_n]=\sum_{a=1}^k\Pr(Y_n\ge a) =\sum_{a=1}^k2^{-n(a-1)} =\boxed{\frac{1-2^{-nk}}{1-2^{-n}}}.