東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2018年8月実施 専門基礎科目 第4問

Author

Miyake

Description

と を 以上の整数とする。確率変数 について, 事象 の確率が

で与えられている。また, を互いに独立で 同じ分布に従う確率変数とする。　 のうちの最小値を とする。以下の問に答えよ。

(問1) とする。 を に対して求めよ。

(問2) とする。確率変数 の期待値と分散を求めよ。

(問3) を 以上の整数とする。 を に対して求めよ。

(問4) を 以上の整数とする。 の期待値を求めよ。

Kai

（問1）

であるから、

（問2）

（問3）

まず、

であり、また、 に対しては、

である。この式は のときも成り立つ。

（問4）

まず、

であり、また、 に対しては、

である。

よって、求める期待値は、次のようになる：

ここで、

とおいた。

であるから、

を得る。