東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2018年8月実施 専門基礎科目 第4問

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Author

Miyake

Description

$k$ と $n$ を $2$ 以上の整数とする。確率変数 $X \in \{1,2,\dots,k\}$ について, 事象 $X = a$ の確率が

$$\Pr[X = a] = \left\{ \begin{aligned} &2^{-a},&a = 1,2,\dots,k-1 \\ &2^{-(k-1)}, &a = k \\ \end{aligned} \right.$$

で与えられている。また, $X_1,X_2,\dots,X_n$ を互いに独立で $X$ 同じ分布に従う確率変数とする。　$X_1,X_2,\dots,X_n$ のうちの最小値を $Y_n = \min\{X_1,X_2,\dots,X_n\}$ とする。以下の問に答えよ。

(問1) $k = 5$ とする。 $\Pr[X \ge a]$ を $a = 1,2,3,4,5$ に対して求めよ。

(問2) $k = 5$ とする。確率変数 $Z = 2^{X}$ の期待値と分散を求めよ。

(問3) $k$ を $2$ 以上の整数とする。$\Pr[Y_n \ge a]$ を $a = 1,2,\dots,k$ に対して求めよ。

(問4) $k$ を $2$ 以上の整数とする。$Y_n$ の期待値を求めよ。

Kai

（問1）

$$\begin{aligned} \text{Pr}[X=1] &= 2^{-1} = \frac{1}{2} \\ \text{Pr}[X=2] &= 2^{-2} = \frac{1}{4} \\ \text{Pr}[X=3] &= 2^{-3} = \frac{1}{8} \\ \text{Pr}[X=4] &= 2^{-4} = \frac{1}{16} \\ \text{Pr}[X=5] &= 2^{-4} = \frac{1}{16} \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} \text{Pr}[X \geq 1] &= 1 \\ \text{Pr}[X \geq 2] &= \frac{1}{2} \\ \text{Pr}[X \geq 3] &= \frac{1}{4} \\ \text{Pr}[X \geq 4] &= \frac{1}{8} \\ \text{Pr}[X \geq 5] &= \frac{1}{16} \end{aligned}$$

（問2）

$$\begin{aligned} E[Z] &= E \left[ 2^X \right] \\ &= \sum_{a=1}^5 2^a \text{Pr}[X=a] \\ &= 2 \cdot \frac{1}{2} + 4 \cdot \frac{1}{4} + 8 \cdot \frac{1}{8} + 16 \cdot \frac{1}{16} + 32 \cdot \frac{1}{16} \\ &= 6 \\ E \left[ Z^2 \right] &= E \left[ 2^{2X} \right] \\ &= \sum_{a=1}^5 2^{2a} \text{Pr}[X=a] \\ &= 2^2 \cdot \frac{1}{2} + 2^4 \cdot \frac{1}{4} + 2^6 \cdot \frac{1}{8} + 2^8 \cdot \frac{1}{16} + 2^{10} \cdot \frac{1}{16} \\ &= 94 \\ V[Z] &= E \left[ Z^2 \right] - E[Z]^2 \\ &= 58 \end{aligned}$$

（問3）

まず、

$$\begin{aligned} \text{Pr} [ Y_n \geq 1 ] &= 1 \end{aligned}$$

であり、また、 $a = 2,3, \cdots , k$ に対しては、

$$\begin{aligned} \text{Pr} [ Y_n \geq a ] &= \text{Pr} [ X_1 \geq a \text{ and } X_2 \geq a \text{ and } \cdots \text{ and } X_n \geq a ] \\ &= \text{Pr} [X_1 \geq a] \text{Pr} [X_2 \geq a] \cdots \text{Pr} [X_n \geq a] \\ &= \left( 1 - \frac{1}{2} - \frac{1}{4} - \cdots - \frac{1}{2^{a-1}} \right)^n \\ &= \left( \frac{1}{2^{a-1}} \right)^n \\ &= 2^{-(a-1)n} \end{aligned}$$

である。この式は $a=1$ のときも成り立つ。

（問4）

まず、

$$\begin{aligned} \text{Pr} [ Y_n = k ] &= \text{Pr} [ Y_n \geq k ] \\ &= 2^{-(k-1)n} \end{aligned}$$

であり、また、 $a = 1,2, \cdots , k-1$ に対しては、

$$\begin{aligned} \text{Pr} [ Y_n = a ] &= \text{Pr} [ Y_n \geq a ] - \text{Pr} [ Y_n \geq a+1 ] \\ &= 2^{-(a-1)n} - 2^{-an} \\ &= \frac{2^n - 1}{2^{an}} \end{aligned}$$

である。

よって、求める期待値は、次のようになる：

$$\begin{aligned} E [ Y_n ] &= \sum_{a=1}^k a \text{Pr} [ Y_n = a ] \\ &= (2^n-1) \sum_{a=1}^{k-1} \frac{a}{2^{an}} + \frac{k}{2^{(k-1)n}} \\ &= (2^n-1) S + \frac{k}{2^{(k-1)n}} \end{aligned}$$

ここで、

$$\begin{aligned} S &= \sum_{a=1}^{k-1} \frac{a}{2^{an}} \\ &= \frac{1}{2^n} + \frac{2}{2^{2n}} + \frac{3}{2^{3n}} + \cdots + \frac{k-1}{2^{(k-1)n}} \end{aligned}$$

とおいた。

$$\begin{aligned} 2^n S &= 1 + \frac{2}{2^{n}} + \frac{3}{2^{2n}} + \cdots + \frac{k-1}{2^{(k-2)n}} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} (2^n-1) S &= 1 + \frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{2^{2n}} + \cdots + \frac{1}{2^{(k-2)n}} - \frac{k-1}{2^{(k-1)n}} \\ &= \frac{1 - \frac{1}{2^{(k-1)n}}}{1 - \frac{1}{2^n}} - \frac{k-1}{2^{(k-1)n}} \end{aligned}$$

であるから、

$$\begin{aligned} E [ Y_n ] &= \frac{1 - \frac{1}{2^{(k-1)n}}}{1 - \frac{1}{2^n}} + \frac{1}{2^{(k-1)n}} \end{aligned}$$

を得る。