東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2018年8月実施 専門基礎科目 第3問

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

$t,\omega$ を実数とし、実関数 $f(t)$ のフーリエ変換を

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt$$

と定義する。$e$ は自然対数の底、$i$ は虚数単位である。また、sinc 関数を $s(\omega)=\sin\omega/\omega$ と定義する。以下の問に答えよ。

問1

次の $g(t)$ のフーリエ変換を求め、sinc 関数を用いて表せ。

$$g(t)=\begin{cases}1,&|t|\le\tfrac12,\\0,&|t|>\tfrac12.\end{cases}$$

問2

実関数 $p(t),q(t)$ の畳み込み積分を

$$(p*q)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}p(\tau)q(t-\tau)\,d\tau$$

と定義する。$h(t)=(g*g)(t)$ を求めよ。

問3

次の $k(t)$ のフーリエ変換を求め、sinc 関数を用いて表せ。

$$k(t)=\begin{cases}1-|t|,&|t|\le1,\\0,&|t|>1.\end{cases}$$

問4

$l(t)$ のフーリエ変換が $L(\omega)=\{s(\omega/2)\}^3$ で与えられるとき、$l(t)$ を求めよ。

题目描述

对实数 $t,\omega$，定义实函数的傅里叶变换与 sinc 函数：

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)e^{-i\omega t}\,dt,\qquad s(\omega)=\frac{\sin\omega}{\omega}.$$

其中 $e$ 是自然对数的底，$i$ 是虚数单位。

1. 求矩形函数 $g(t)=1$（$|t|\le1/2$）、$g(t)=0$（其余情况）的傅里叶变换，用 sinc 表示。
2. 定义卷积

$$(p*q)(t)=\int_{-\infty}^{\infty}p(\tau)q(t-\tau)\,d\tau.$$

求 $h=g*g$。 3. 求三角函数 $k(t)=1-|t|$（$|t|\le1$）、$k(t)=0$（其余情况）的傅里叶变换，用 sinc 表示。 4. 已知 $l(t)$ 的傅里叶变换为 $\{s(\omega/2)\}^3$，求 $l(t)$。

Kai

問1

$$G(\omega)=\int_{-1/2}^{1/2}e^{-i\omega t}\,dt =\frac{2\sin(\omega/2)}{\omega}=s(\omega/2).$$

$\omega=0$ では連続延長により $G(0)=1$。

問2

積分は区間 $[-1/2,1/2]$ と $[t-1/2,t+1/2]$ の重なりの長さであるから、

$$h(t)=\begin{cases}1-|t|,&|t|\le1,\\0,&|t|>1.\end{cases}$$

問3

$k=g*g$ と畳み込み定理より、

$$K(\omega)=G(\omega)^2=\{s(\omega/2)\}^2.$$

問4

再び畳み込み定理より $l=k*g$。すなわち

$$l(t)=\int_{t-1/2}^{t+1/2}\max(1-|\tau|,0)\,d\tau =\begin{cases} \frac34-t^2,&|t|\le\frac12,\\ \frac12\left(\frac32-|t|\right)^2,&\frac12<|t|\le\frac32,\\ 0,&|t|>\frac32. \end{cases}$$