跳到主要内容

東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2018年8月実施 専門基礎科目 第2問

标签：

Author​

之遥, 祭音Myyura

Description​

整数 n≥1n \ge 1 に対して, 三項間漸化式

xn+2=xn+1+xn,x1=1,x2=1x_{n+2} = x_{n+1} + x_n,x_1 = 1,x_2 = 1

を考える。以下の問に答えよ。

(問1) (xn+1xn+2)=A(xnxn+1)\begin{pmatrix}x_{n+1} \\ x_{n+2}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} x_n \\ x_{n+1} \\ \end{pmatrix} を満たす 2×22 \times 2 実行列 AA を求めよ。

(問2) 行列 AA の固有値 λ+,λ−(λ+>λ−)\lambda_{+},\lambda_{-}(\lambda_{+} > \lambda_{-}) を求めよ。

(問3) 行列 AA の対角化を用いて,

An=15(λ+n−1−λ−n−1λ+n−λ−nλ+n−λ−nλ+n+1−λ−n+1)(1)A^n = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} \lambda_{+}^{n-1} - \lambda_{-}^{n-1} & \lambda_{+}^n - \lambda_{-}^n \\ \lambda_{+}^n - \lambda_{-}^n & \lambda_{+}^{n+1} - \lambda_{-}^{n+1} \\ \end{pmatrix} \qquad \qquad (1)

を示せ。

以下の問では, 式 (1) を用いてよい。

(問4) xn=αλ+n+βλ−nx_n = \alpha\lambda_{+}^n + \beta\lambda_{-}^n を満たす実数 α,β\alpha,\beta を求めよ。

(問5) 実数 a,ba,b に対して三項間漸化式

yn+2=yn+1+yn,y1=a,y2=by_{n+2} = y_{n+1} + y_{n},y_1 = a,y_2 = b

を考える。 yn(n≥3)y_{n}(n\ge3) を a,b,xn−1,xn−2a,b,x_{n-1},x_{n-2} を用いて表せ。

(問6) D1=1,Dn(n≥2)D_1 = 1,D_{n}(n \ge 2) を n×nn \times n 三重対角行列 BnB_n の行列式とする。

B2=(11−11),Bn=(110⋯⋯0−111⋱⋮0−11⋱⋱⋮⋮⋱⋱⋱⋱0⋮⋱⋱110⋯⋯0−11)(n≥3)B_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\\end{pmatrix} , B_n = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ -1 & 1 & 1 & \ddots & & \vdots \\ 0 & -1 & 1 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 1 & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}(n \ge 3)

のとき, Dn(n≥3)D_n(n \ge 3) を xn−1x_{n-1} および xn−2x_{n-2} を用いて表せ。

题目描述​

对整数 n≥1n\ge1，定义 Fibonacci 型递推

xn+2=xn+1+xn,x1=x2=1.x_{n+2}=x_{n+1}+x_n,\qquad x_1=x_2=1.

回答：

  1. 求满足
(xn+1xn+2)=A(xnxn+1)\binom{x_{n+1}}{x_{n+2}} =A\binom{x_n}{x_{n+1}}

的 2×22\times2 实矩阵 AA。 2. 求 AA 的两个特征值 λ+>λ−\lambda_+>\lambda_-。 3. 利用 AA 的对角化证明

An=15(λ+n−1−λ−n−1λ+n−λ−nλ+n−λ−nλ+n+1−λ−n+1).(1)A^n=\frac1{\sqrt5} \begin{pmatrix} \lambda_+^{n-1}-\lambda_-^{n-1}& \lambda_+^n-\lambda_-^n\\ \lambda_+^n-\lambda_-^n& \lambda_+^{n+1}-\lambda_-^{n+1} \end{pmatrix}. \tag{1}
  1. 求实数 α,β\alpha,\beta，使
xn=αλ+n+βλ−n.x_n=\alpha\lambda_+^n+\beta\lambda_-^n.
  1. 对任意实数 a,ba,b，设
yn+2=yn+1+yn,y1=a, y2=b.y_{n+2}=y_{n+1}+y_n,\qquad y_1=a,\ y_2=b.

对 n≥3n\ge3，用 a,b,xn−1,xn−2a,b,x_{n-1},x_{n-2} 表示 yny_n。 6. 令 D1=1D_1=1；对 n≥2n\ge2，DnD_n 是上文所示 n×nn\times n 三对角矩阵 BnB_n 的行列式，其主对角元为 1、上对角元为 1、下对角元为 −1-1。对 n≥3n\ge3，用 xn−1,xn−2x_{n-1},x_{n-2} 表示 DnD_n。

第 4 至第 6 问允许直接使用式 (1)。

Kai​

問1・問2​

A=(0111),λ±=1±52.A=\begin{pmatrix}0&1\\1&1\end{pmatrix},\qquad \lambda_\pm=\frac{1\pm\sqrt5}{2}.

特性方程は λ2−λ−1=0\lambda^2-\lambda-1=0 である。

問3​

固有ベクトル (1,λ±)T(1,\lambda_\pm)^\mathsf T を並べて

P=(11λ+λ−),P−1=15(−λ−1λ+−1)P=\begin{pmatrix}1&1\\\lambda_+&\lambda_-\end{pmatrix},\qquad P^{-1}=\frac1{\sqrt5}\begin{pmatrix}-\lambda_-&1\\\lambda_+&-1\end{pmatrix}

とすれば A=Pdiag⁡(λ+,λ−)P−1A=P\operatorname{diag}(\lambda_+,\lambda_-)P^{-1}。λ+λ−=−1\lambda_+\lambda_-=-1 を用いると、

An=15(λ+n−1−λ−n−1λ+n−λ−nλ+n−λ−nλ+n+1−λ−n+1).A^n=\frac1{\sqrt5}\begin{pmatrix} \lambda_+^{n-1}-\lambda_-^{n-1}&\lambda_+^n-\lambda_-^n\\ \lambda_+^n-\lambda_-^n&\lambda_+^{n+1}-\lambda_-^{n+1} \end{pmatrix}.

問4​

初期条件より αλ++βλ−=1\alpha\lambda_++\beta\lambda_-=1、αλ+2+βλ−2=1\alpha\lambda_+^2+\beta\lambda_-^2=1 であるから、

α=15,β=−15.\boxed{\alpha=\frac1{\sqrt5},\qquad\beta=-\frac1{\sqrt5}.}

問5​

初期値 (a,b)(a,b) に対する解の線形性、または問3の行列表示より、

yn=axn−2+bxn−1(n≥3).\boxed{y_n=a x_{n-2}+b x_{n-1}\quad(n\ge3).}

問6​

三重対角行列の第1行で展開すると Dn=Dn−1+Dn−2D_n=D_{n-1}+D_{n-2}。D1=1,D2=2D_1=1,D_2=2 なので、問5より

Dn=xn−2+2xn−1(n≥3).\boxed{D_n=x_{n-2}+2x_{n-1}\quad(n\ge3).}
本页目录