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東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2018年8月実施 専門基礎科目 第2問

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Author​

之遥

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整数 n≥1n \ge 1 に対して, 三項間漸化式

xn+2=xn+1+xn,x1=1,x2=1x_{n+2} = x_{n+1} + x_n,x_1 = 1,x_2 = 1

を考える。以下の問に答えよ。

(問1) (xn+1xn+2)=A(xnxn+1)\begin{pmatrix}x_{n+1} \\ x_{n+2}\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix} x_n \\ x_{n+1} \\ \end{pmatrix} を満たす 2×22 \times 2 実行列 AA を求めよ。

(問2) 行列 AA の固有値 λ+,λ−(λ+>λ−)\lambda_{+},\lambda_{-}(\lambda_{+} > \lambda_{-}) を求めよ。

(問3) 行列 AA の対角化を用いて,

An=15(λ+n−1−λ−n−1λ+n−λ−nλ+n−λ−nλ+n+1−λ−n+1)(1)A^n = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} \lambda_{+}^{n-1} - \lambda_{-}^{n-1} & \lambda_{+}^n - \lambda_{-}^n \\ \lambda_{+}^n - \lambda_{-}^n & \lambda_{+}^{n+1} - \lambda_{-}^{n+1} \\ \end{pmatrix} \qquad \qquad (1)

を示せ。

以下の問では, 式 (1) を用いてよい。

(問4) xn=αλ+n+βλ−nx_n = \alpha\lambda_{+}^n + \beta\lambda_{-}^n を満たす実数 α,β\alpha,\beta を求めよ。

(問5) 実数 a,ba,b に対して三項間漸化式

yn+2=yn+1+yn,y1=a,y2=by_{n+2} = y_{n+1} + y_{n},y_1 = a,y_2 = b

を考える。 yn(n≥3)y_{n}(n\ge3) を a,b,xn−1,xn−2a,b,x_{n-1},x_{n-2} を用いて表せ。

(問6) D1=1,Dn(n≥2)D_1 = 1,D_{n}(n \ge 2) を n×nn \times n 三重対角行列 BnB_n の行列式とする。

B2=(11−11),Bn=(110⋯⋯0−111⋱⋮0−11⋱⋱⋮⋮⋱⋱⋱⋱0⋮⋱⋱110⋯⋯0−11)(n≥3)B_2 = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\\end{pmatrix} , B_n = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ -1 & 1 & 1 & \ddots & & \vdots \\ 0 & -1 & 1 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 1 & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & -1 & 1 \end{pmatrix}(n \ge 3)

のとき, Dn(n≥3)D_n(n \ge 3) を xn−1x_{n-1} および xn−2x_{n-2} を用いて表せ。

Kai​

(問1)​

[xn+1xn+2]=[0111][xnxn]\begin{bmatrix} x_{n+1} \\ x_{n+2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_n \\ x_n \\ \end{bmatrix}

(問2)​

det⁡(A−λI)=0λ2−λ−1=0λ−=1−52,λ+=1+52\begin{aligned} &\det(A - \lambda I) = 0 \\ &\lambda^2 - \lambda - 1 = 0 \\ &\lambda_{-} = \frac{1 - \sqrt{5}}{2},\lambda_{+} = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \end{aligned}

(問3)​

x−=[λ−−11],x+=[λ+−11]X=[λ−−1λ+−111],Λ=[λ−λ+]An=(XΛX−1)n=XΛnX−1=15[λ+n−1−λ−n−1λ+n−λ−nλ+n−λ−nλ+n+1−λ−n+1]\begin{aligned} &x_{-} = \begin{bmatrix} \lambda_{-} - 1 \\ 1 \end{bmatrix}, x_{+} = \begin{bmatrix} \lambda_{+} - 1 \\ 1 \end{bmatrix} \\ &X = \begin{bmatrix}\lambda_{-}-1 & \lambda_{+} - 1 \\ 1 & 1 \\ \end{bmatrix}, \Lambda = \begin{bmatrix} \lambda_{-} & \\ & \lambda_{+} \\ \end{bmatrix} \\ &A^n = (X\Lambda X^{-1})^n = X\Lambda^nX^{-1} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} \lambda_{+}^{n-1} - \lambda_{-}^{n-1} & \lambda_{+}^n - \lambda_{-}^n \\ \lambda_{+}^n - \lambda_{-}^n & \lambda_{+}^{n+1} - \lambda_{-}^{n+1} \\ \end{bmatrix} \end{aligned}

(問4)​

{x1=1=αλ++βλ−x2=1=αλ+2+βλ−2,{α=15β=−15\left\{ \begin{aligned} &x_1 = 1 = \alpha\lambda_{+} + \beta\lambda_{-} \\ &x_2 = 1 = \alpha\lambda_{+}^2 + \beta\lambda_{-}^2 \\ \end{aligned} \right., \left\{ \begin{aligned} &\alpha = \frac{1}{\sqrt{5}} \\ &\beta = -\frac{1}{\sqrt{5}} \\ \end{aligned} \right.

(問5)​

From (問4) ,

xn=λ+n−λ−n5,xn−1=λ+n−1−λ−n−15,xn−2=λ+n−2−λ−n−25x_n = \frac{\lambda_{+}^n - \lambda_{-}^n}{\sqrt{5}}, x_{n-1} = \frac{\lambda_{+}^{n-1} - \lambda_{-}^{n-1}}{\sqrt{5}}, x_{n-2} = \frac{\lambda_{+}^{n-2} - \lambda_{-}^{n-2}}{\sqrt{5}}
[yn+1yn+2]=An[y1y2]=15[λ+n−1−λ−n−1λ+n−λ−nλ+n−λ−nλ+n+1−λ−n+1][ab]yn=15[a(λ+n−2−λ−n−2)+b(λ+n−1−λ−n−1)]=aλ+n−2−λ−n−25+bλ+n−1−λ−n−15=axn−2+bxn−1\begin{aligned} &\begin{bmatrix} y_{n+1} \\ y_{n+2} \\ \end{bmatrix} = A^n\begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \\ \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{bmatrix} \lambda_{+}^{n-1} - \lambda_{-}^{n-1} & \lambda_{+}^n - \lambda_{-}^n \\ \lambda_{+}^n - \lambda_{-}^n & \lambda_{+}^{n+1} - \lambda_{-}^{n+1} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a \\ b \\ \end{bmatrix} \\ &y_{n} = \frac{1}{\sqrt{5}}[a(\lambda_{+}^{n-2} - \lambda_{-}^{n-2}) + b(\lambda_{+}^{n-1} - \lambda_{-}^{n-1})] \\ &\quad = a \frac{\lambda_{+}^{n-2} - \lambda_{-}^{n-2}}{\sqrt{5}} + b\frac{\lambda_{+}^{n-1} - \lambda_{-}^{n-1}}{\sqrt{5}} = ax_{n-2} + bx_{n-1} \end{aligned}

(問6)​

Dn=∣110⋯⋯0−111⋱⋮0−11⋱⋱⋮⋮⋱⋱⋱⋱0⋮⋱⋱110⋯⋯0−11∣n×n=1⋅∣110⋯⋯0−111⋱⋮0−11⋱⋱⋮⋮⋱⋱⋱⋱0⋮⋱⋱110⋯⋯0−11∣(n−1)×(n−1)+1⋅∣110⋯⋯0−111⋱⋮0−11⋱⋱⋮⋮⋱⋱⋱⋱0⋮⋱⋱110⋯⋯0−11∣(n−1)×(n−1)=∣110⋯⋯0−111⋱⋮0−11⋱⋱⋮⋮⋱⋱⋱⋱0⋮⋱⋱110⋯⋯0−11∣(n−1)×(n−1)+∣110⋯⋯0−111⋱⋮0−11⋱⋱⋮⋮⋱⋱⋱⋱0⋮⋱⋱110⋯⋯0−11∣(n−2)×(n−2)=Dn−1+Dn−2\begin{aligned} D_{n} &= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ -1 & 1 & 1 & \ddots & & \vdots \\ 0 & -1 & 1 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 1 & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & -1 & 1 \end{vmatrix}_{n \times n} \\ &= 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ -1 & 1 & 1 & \ddots & & \vdots \\ 0 & -1 & 1 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 1 & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & -1 & 1 \end{vmatrix}_{(n-1) \times (n-1)} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ -1 & 1 & 1 & \ddots & & \vdots \\ 0 & -1 & 1 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 1 & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & -1 & 1 \end{vmatrix}_{(n-1) \times (n-1)} \\ &= \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ -1 & 1 & 1 & \ddots & & \vdots \\ 0 & -1 & 1 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 1 & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & -1 & 1 \end{vmatrix}_{(n-1) \times (n-1)} + \begin{vmatrix} 1 & 1 & 0 & \cdots & \cdots & 0 \\ -1 & 1 & 1 & \ddots & & \vdots \\ 0 & -1 & 1 & \ddots & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots & 0 \\ \vdots & & \ddots & \ddots & 1 & 1 \\ 0 & \cdots & \cdots & 0 & -1 & 1 \end{vmatrix}_{(n-2) \times (n-2)} \\ &= D_{n-1} + D_{n-2} \end{aligned}

From (問5) , a=D1=1,b=D2=2a = D_1 = 1, b = D_2 = 2

Then Dn=yn=axn−2+bxn−1=xn−2+2xn−1D_{n} = y_n = ax_{n-2} + bx_{n-1} = x_{n-2} + 2x_{n-1}

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