東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2018年8月実施 専門基礎科目 第1問

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• 贝塞尔方程
• 幂级数解与系数递推

Author

之遥, 祭音Myyura

Description

$f(x,y)(x,y \in \mathbb{R},(x,y) \neq (0,0))$ を実関数とし，微分方程式

$$\begin{align} \frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial ^2 f}{\partial y^2} + f = 0\tag{1} \end{align}$$

を極座標 $(r,\theta)(r,\theta \in \mathbb{R},r > 0)$ を用いて考える。ここで, $x = r\cos\theta,y = r\sin\theta$ とする。$g(r,\theta) = f(x(r,\theta),y(r,\theta))$ として, 以下の問に答えよ。

(問 1)

$r$ を $x,y$ を用いて表せ。

(問 2)

$\frac{\partial f}{\partial x} = A(r,\theta)\frac{\partial g}{\partial r} + B(r,\theta)\frac{\partial g}{\partial \theta}$ と表されるとき, $A(r,\theta),B(r,\theta)$ を求めよ。$\frac{\partial \theta}{\partial x} = -\frac{\sin\theta}{r}$ を用いてよい。

(問 3)

$\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} = D(r,\theta)\frac{\partial ^2 g}{\partial r^2} + E(r,\theta)\frac{\partial g}{\partial r} + F(r,\theta)\frac{\partial ^2 g}{\partial \theta^2} + G(r,\theta)\frac{\partial g}{\partial \theta} + H(r,\theta)\frac{\partial ^2g}{\partial r\partial \theta}$ と表されるとき, $D(r,\theta),E(r,\theta),F(r,\theta),G(r,\theta),H(r,\theta)$ を求めよ。

(問 4)

式(1)の微分方程式において, 変数を極座標に変換して $g(r,\theta)$ に関する微分方程式を求めよ。$\frac{\partial \theta}{\partial y} = \frac{\cos\theta}{r}$ を用いてよい。

(問 5)

(問 4)で求めた微分方程式の解が, $g(r,\theta) = R(r)\sin\theta$ と書けると仮定する。 $R(r)$ は微分方程式

$$\begin{align} \frac{\text{d}^2R}{\text{d}r^2} + \frac{1}{r}\frac{\text{d}R}{\text{d}r} + \big(1 - \frac{1}{r^2}\big)R = 0\tag{2} \end{align}$$

を満たすことを示せ。

(問 6)

式(2)の微分方程式の解が, 項別微分可能な級数 $R(r) = r + \sum_{m=1}^{\infty}C_{m}r^{m+1}$ と書けると仮定する。

(i) $C_1,C_2$ の値を求めよ。

(ii) 整数 $n \ge 1$ に対して, $C_{n+2}$ を $C_n$ を用いて表せ。

题目描述

设 $f(x,y)$ 是定义在 $\mathbb R^2\setminus\{(0,0)\}$ 上的实函数，满足二维 Helmholtz 方程

$$\frac{\partial^2f}{\partial x^2} +\frac{\partial^2f}{\partial y^2}+f=0. \tag{1}$$

采用极坐标

$$x=r\cos\theta,\qquad y=r\sin\theta,\qquad r>0,$$

并定义 $g(r,\theta)=f(x(r,\theta),y(r,\theta))$。回答：

1. 用 $x,y$ 表示 $r$。
2. 若

$$\frac{\partial f}{\partial x} =A(r,\theta)\frac{\partial g}{\partial r} +B(r,\theta)\frac{\partial g}{\partial\theta},$$

求 $A,B$；可用 $\partial\theta/\partial x=-\sin\theta/r$。 3. 若

$$\frac{\partial^2f}{\partial x^2} =Dg_{rr}+Eg_r+Fg_{\theta\theta}+Gg_\theta+Hg_{r\theta},$$

求 $D(r,\theta),E(r,\theta),F(r,\theta),G(r,\theta),H(r,\theta)$。 4. 将式 (1) 完整变换成关于 $g(r,\theta)$ 的极坐标偏微分方程；可用 $\partial\theta/\partial y=\cos\theta/r$。 5. 假设解可分离为

$$g(r,\theta)=R(r)\sin\theta,$$

证明径向函数满足

$$R''+\frac1rR'+\left(1-\frac1{r^2}\right)R=0. \tag{2}$$

6. 再假设式 (2) 有可逐项微分的级数解

$$R(r)=r+\sum_{m=1}^{\infty}C_mr^{m+1}.$$

1. 求 $C_1,C_2$；
2. 对整数 $n\ge1$，用 $C_n$ 表示 $C_{n+2}$。

Kai

問1

$$r=\sqrt{x^2+y^2}.$$

問2

連鎖律より $\partial_x=\cos\theta\,\partial_r-(\sin\theta/r)\partial_\theta$ なので、

$$A=\cos\theta,\qquad B=-\frac{\sin\theta}{r}.$$

問3

問2の微分作用素をもう一度作用させると、

$$f_{xx}=\cos^2\theta\,g_{rr}+\frac{\sin^2\theta}{r}g_r +\frac{\sin^2\theta}{r^2}g_{\theta\theta} +\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r^2}g_\theta -\frac{2\sin\theta\cos\theta}{r}g_{r\theta}.$$

したがって各項の係数が順に $D,E,F,G,H$ である。

問4

同様に $\partial_y=\sin\theta\,\partial_r+(\cos\theta/r)\partial_\theta$ を用い、$f_{xx}+f_{yy}$ の混合微分項を消去すると、

$$g_{rr}+\frac1r g_r+\frac1{r^2}g_{\theta\theta}+g=0.$$

問5

$g=R(r)\sin\theta$ を代入すれば、

$$\left[R''+\frac1rR'+\left(1-\frac1{r^2}\right)R\right]\sin\theta=0.$$

すべての $\theta$ で成立するから、角括弧内が $0$ となる。

問6

級数を $r^2R''+rR'+(r^2-1)R=0$ に代入し、係数を比較する。

$$3C_1r^2+(8C_2+1)r^3+ \sum_{n=1}^{\infty}\left[(n+2)(n+4)C_{n+2}+C_n\right]r^{n+3}=0.$$

よって、

$$\boxed{C_1=0,\quad C_2=-\frac18,\quad C_{n+2}=-\frac{C_n}{(n+2)(n+4)}\quad(n\ge1).}$$