東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2017年8月実施 専門基礎科目 第4問

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之遥

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プレイヤーはマシーンと一回のみゲームを行う。 とし、プレイヤーが値 を出す確率を とし、 とする。 とし、マシーンが値 を出す確率を とし、 とする。プレイヤーとマシーンは、 から までの自然数を、この確率分布に従い出すものとする。プレイヤーとマシーンが同じ数を出したとき、プレイヤーの勝ちとする。このとき、以下の問いに答えよ。

(問1) に対して、 とする。プレイヤーが勝つ確率を求めよ。

(問2) に対して、 とし、 に対して、 とする。プレイヤーが勝つ確率を、 のみを用いて表せ。

(問3) に対して、 とする。

• (a) プレイヤーが勝つ確率の最小値を求めよ。
• (b) マシーンが出す値の期待値が であるとする。プレイヤーが勝つ確率の最小値を求めよ。

(問4) をプレイヤーの戦略と呼ぶことにする。以下の二つの戦略を考える。

• 戦略 :
• 戦略 :

ここで、 のうち、 が最大であるとする。

• (a) 戦略 は、戦略 より優れていることを示せ。ここで、戦略 に対して、戦略 を用いたときのプレイヤーが勝つ確率が、戦略 を用いた時のプレイヤーが勝つ確率以上のとき、戦略 は戦略 より優れているという。
• (b) 戦略 は、任意の戦略の中で最も優れていることを示せ。

Kai

(問1)

(問2)

(問3)

(a)

When , obtains its minimum .

(b)

When , satisfies the condition. So it can obtain its minimum in (問3).(a) , which is .

(問4)

(a)

(b)

Sulution 1

So the strategy E is superior to any strategies.

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Solution 2

For any strategy , let , where .

So the strategy E is superior to any strategies.