東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2017年8月実施 専門基礎科目 第3問

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

$t,\omega$ を実数とし、関数 $f(t)$ のフーリエ変換と逆フーリエ変換をそれぞれ

$$F(\omega)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}\,dt,\qquad f(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega$$

と定義する。$e$ は自然対数の底、$i$ は虚数単位である。以下の問に答えよ。次式で与えられるデルタ関数を用いてよい。

$$\delta(\omega)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-i\omega t}\,dt.$$

(問1) $\omega_0$ を実定数として、$\cos(\omega_0t)$ のフーリエ変換を求めよ。

(問2) $f(t)$ が実偶関数のとき、$F(\omega)$ が実数関数となることを示せ。

(問3) 正の整数 $N$ に対し、実偶関数

$$f(t)=\sum_{n=0}^N\cos(\omega_nt),\qquad \omega_n=\frac{(1+4n)\pi}{2t_0}\quad(n=0,1,2,\ldots),\qquad t_0>0$$

を考える。次式を示せ。

$$f(t-t_0)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^\infty F(\omega)\sin(\omega t)\,d\omega.$$

(問4) $G(\omega)=F(\omega)H(\omega)$ を考える。ただし、

$$H(\omega)=\begin{cases}2&\omega>0,\\1&\omega=0,\\0&\omega<0.\end{cases}$$

$G$ の逆フーリエ変換を $g(t)$ とする。$f$ が問3のように与えられるとき、$g(t)$ を $f(t)$ と $f(t-t_0)$ を用いて示せ。

题目描述

对 $t,\omega\in\mathbb R$，定义 Fourier 变换与逆变换

$$F(\omega)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t)e^{-i\omega t}\,dt,\qquad f(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty F(\omega)e^{i\omega t}\,d\omega.$$

其中 $e$ 为自然对数的底，$i^2=-1$。可使用 Dirac delta 函数公式

$$\delta(\omega)=\frac1{2\pi}\int_{-\infty}^\infty e^{-i\omega t}\,dt.$$

1. 对实常数 $\omega_0$，求 $\cos(\omega_0t)$ 的 Fourier 变换。
2. 证明实偶函数的 Fourier 变换为实值。
3. 对正整数 $N$ 和 $t_0>0$，设

$$f(t)=\sum_{n=0}^N\cos(\omega_nt),\qquad\omega_n=\frac{(1+4n)\pi}{2t_0}.$$

证明

$$f(t-t_0)=\sqrt{\frac2\pi}\int_0^\infty F(\omega)\sin(\omega t)\,d\omega.$$

4. 令 $G(\omega)=F(\omega)H(\omega)$，其中 $H(\omega)$ 在 $\omega>0,=0,<0$ 时分别为 $2,1,0$。若 $f$ 如第3问，用 $f(t),f(t-t_0)$ 表示 $G$ 的逆 Fourier 变换 $g(t)$。

Kai

問1

$\cos(\omega_0t)=(e^{i\omega_0t}+e^{-i\omega_0t})/2$ より、デルタ関数を用いて

$$\boxed{F(\omega)=\sqrt{\frac\pi2}\{\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)\}}.$$

問2

$f(t)\sin(\omega t)$ は奇関数なので、その対称積分は0。したがって、

$$F(\omega)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(t)\cos(\omega t)\,dt$$

は実数となる。デルタ関数を含む場合も実分布として同じ対称性が成り立つ。

問3

問1と線形性から、

$$F(\omega)=\sqrt{\frac\pi2}\sum_{n=0}^N\{\delta(\omega-\omega_n)+\delta(\omega+\omega_n)\}.$$

全ての $\omega_n$ は正なので、

$$\sqrt{\frac2\pi}\int_0^\infty F(\omega)\sin(\omega t)\,d\omega =\sum_{n=0}^N\sin(\omega_nt).$$

一方、$\omega_nt_0=\pi/2+2n\pi$ より、

$$f(t-t_0)=\sum_{n=0}^N\cos(\omega_nt-\pi/2-2n\pi) =\sum_{n=0}^N\sin(\omega_nt).$$

両式から所望の等式を得る。

問4

$H$ は正の周波数成分を2倍し、負の成分を消すので、

$$G(\omega)=\sqrt{2\pi}\sum_{n=0}^N\delta(\omega-\omega_n).$$

よって逆変換は

$$g(t)=\sum_{n=0}^Ne^{i\omega_nt} =\sum_{n=0}^N\cos(\omega_nt)+i\sum_{n=0}^N\sin(\omega_nt) =\boxed{f(t)+if(t-t_0)}.$$