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東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2017年8月実施 専門基礎科目 第2問

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Author​

之遥, 祭音Myyura

Description​

実数の集合および非負実数の集合をそれぞれ R=(−∞,∞), R+=[0,∞)\mathbb R=(-\infty,\infty),\ \mathbb R_+=[0,\infty) とする。次の3次元ベクトル a1,a2,a3,a4a_1,a_2,a_3,a_4 および 3×43\times4 行列 AA を考える。

A=(a1,a2,a3,a4)=(514230511403).A=(a_1,a_2,a_3,a_4)=\begin{pmatrix}5&1&4&2\\3&0&5&1\\1&4&0&3\end{pmatrix}.

4次元列ベクトルを x=(x1,x2,x3,x4)T∈R4x=(x_1,x_2,x_3,x_4)^{\mathsf T}\in\mathbb R^4 と表す。ここで T\mathsf T は転置を表す。また、

P={x∈R+4:x1+x2+x3+x4=1}P=\{x\in\mathbb R_+^4:x_1+x_2+x_3+x_4=1\}

と定義する。以下の問に答えよ。

(問1) 集合 S⊂R3S\subset\mathbb R^3 を

S={Ax:x∈R4, x1+x3=1, x2+x4=1}S=\{Ax:x\in\mathbb R^4,\ x_1+x_3=1,\ x_2+x_4=1\}

とする。SS と直交する単位ベクトル c∈R3c\in\mathbb R^3 を求めよ。

(問2) x4=0x_4=0 かつ Ax=a4Ax=a_4 を満たす x∈R4x\in\mathbb R^4 を求めよ。

(問3) x∈Px\in P のうち、次の条件を同時に満たすものを1つ挙げよ。問2の結果を用いてよい。

(a) x4=0x_4=0。

(b) 任意の行ベクトル y=(y1,y2,y3)∈R+3y=(y_1,y_2,y_3)\in\mathbb R_+^3 に対して ya4≤yAxya_4\le yAx。

(問4) 任意の固定した x′∈Px'\in P に対して、次の条件を同時に満たす x∈Px\in P が存在することを示せ。問3の結果を用いてよい。

(a) x4=0x_4=0。

(b) 任意の y∈R+3y\in\mathbb R_+^3 に対して yAx′≤yAxyAx'\le yAx。

题目描述​

记 R=(−∞,∞)\mathbb R=(-\infty,\infty)、R+=[0,∞)\mathbb R_+=[0,\infty)，给定

A=(a1,a2,a3,a4)=(514230511403).A=(a_1,a_2,a_3,a_4)=\begin{pmatrix}5&1&4&2\\3&0&5&1\\1&4&0&3\end{pmatrix}.

对列向量 x=(x1,x2,x3,x4)Tx=(x_1,x_2,x_3,x_4)^{\mathsf T}，定义

P={x∈R+4:x1+x2+x3+x4=1}.P=\{x\in\mathbb R_+^4:x_1+x_2+x_3+x_4=1\}.
  1. 令 S={Ax:x∈R4, x1+x3=1, x2+x4=1}S=\{Ax:x\in\mathbb R^4,\ x_1+x_3=1,\ x_2+x_4=1\}，求该仿射平面的单位法向量 c∈R3c\in\mathbb R^3。
  2. 求满足 x4=0, Ax=a4x_4=0,\ Ax=a_4 的 x∈R4x\in\mathbb R^4。
  3. 举出一个 x∈Px\in P，使 x4=0x_4=0，且对任意非负行向量 y∈R+3y\in\mathbb R_+^3 都有 ya4≤yAxya_4\le yAx。可使用第2问的结果。
  4. 证明对任意固定 x′∈Px'\in P，存在 x∈Px\in P，使 x4=0x_4=0，且对任意 y∈R+3y\in\mathbb R_+^3 都有 yAx′≤yAxyAx'\le yAx。可使用第3问的结果。

Kai​

問1​

x3=1−x1, x4=1−x2x_3=1-x_1,\ x_4=1-x_2 を代入すると、

Ax=(663)+x1(1−21)+x2(−1−11).Ax=\begin{pmatrix}6\\6\\3\end{pmatrix} +x_1\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix} +x_2\begin{pmatrix}-1\\-1\\1\end{pmatrix}.

よって SS の法線は両方向ベクトルに直交する。例えば、

c=114(123).\boxed{c=\frac1{\sqrt{14}}\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix}}.

問2​

AA の第1〜第3列からなる行列の行列式は −47≠0-47\ne0。連立方程式を解いて、

x=147(93340).\boxed{x=\frac1{47}\begin{pmatrix}9\\33\\4\\0\end{pmatrix}}.

問3​

x^=147(103340)\widehat x=\frac1{47}\begin{pmatrix}10\\33\\4\\0\end{pmatrix}

とおくと、x^∈P\widehat x\in P、x^4=0\widehat x_4=0 であり、問2より

Ax^−a4=147a1≥0A\widehat x-a_4=\frac1{47}a_1\ge0

が成分ごとに成り立つ。したがって任意の y≥0y\ge0 に対して ya4≤yAx^ya_4\le yA\widehat x。

問4​

問3の x^\widehat x を用い、

x=(x1′+1047x4′x2′+3347x4′x3′+447x4′0)x=\begin{pmatrix} x'_1+\dfrac{10}{47}x'_4\\ x'_2+\dfrac{33}{47}x'_4\\ x'_3+\dfrac4{47}x'_4\\0 \end{pmatrix}

とおく。各成分は非負で総和は1なので、x∈Px\in P。さらに、

Ax−Ax′=x4′(Ax^−a4)=x4′47a1≥0.Ax-Ax'=x'_4(A\widehat x-a_4)=\frac{x'_4}{47}a_1\ge0.

よって全ての y≥0y\ge0 に対して yAx′≤yAxyAx'\le yAx が成立する。

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