東京大学新領域創成科学研究科複雑理工学専攻 2017年8月実施専門基礎科目第2問

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実数の集合および非負実数の集合をそれぞれをする。次の次元ベクトルおよび行列を考える。

次元ベクトルをで表す。ここで, はベクトルの転置を表す。さらに, 集合を

と定義する。このとき, 以下の問に答えよ。

(問1) 集合をかつを満たすに対して点がなす集合とする, すなわち

とする。と直交する単位ベクトルを求めよ。

(問2) かつを満たすを求めよ。

(問3) のうち次のつの条件を同時に満たすものをつ挙げよ。ここで, (問 2) の結果を用いてもよい。

(問4) 任意の固定したに対して, 次のつの条件を同時に満たすが存在することを示せ。ここで, (問 3) の結果を用いてもよい。

From (問2) , we have , hence

Since and , we have for any when every element of is larger than or equal to .

Therefore,

one solution is

Since and every element of and is larger than or equal to , if every element of and is larger than or equal to , we will obtain that for any .

Therefore,

one solution is