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東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2017年8月実施 専門基礎科目 第1問

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Author​

之遥, 祭音Myyura

Description​

関数 f(x,y)=(x+y)e−(x2+y2)f(x,y)=(x+y)e^{-(x^2+y^2)} について、以下の問に答えよ。ただし、x,yx,y は実数であり、ee は自然対数の底とする。

(問1) ∂f/∂x\partial f/\partial x を求めよ。

(問2) ∂2f/∂x2\partial^2f/\partial x^2 および ∂2f/(∂x∂y)\partial^2f/(\partial x\partial y) を求めよ。

(問3) 関数 ff を (x,y)=(1,−1)(x,y)=(1,-1) のまわりで二次の項までテイラー展開せよ。

(問4) 関数 ff が (x,y)=(0.5,0.5)(x,y)=(0.5,0.5) において極大値をとることを示せ。

(問5) x2+y2=1, x,y≥0x^2+y^2=1,\ x,y\ge0 の条件下で、関数 ff の極値を求めよ。

题目描述​

设 f(x,y)=(x+y)e−(x2+y2)f(x,y)=(x+y)e^{-(x^2+y^2)}，其中 x,y∈Rx,y\in\mathbb R，ee 为自然对数的底。

  1. 求 ∂f/∂x\partial f/\partial x。
  2. 求 ∂2f/∂x2\partial^2f/\partial x^2 和 ∂2f/(∂x∂y)\partial^2f/(\partial x\partial y)。
  3. 在 (1,−1)(1,-1) 附近将 ff 展开至二次项。
  4. 证明 ff 在 (0.5,0.5)(0.5,0.5) 处取得局部极大值。
  5. 在 x2+y2=1, x,y≥0x^2+y^2=1,\ x,y\ge0 的约束下，求 ff 的极值。

Kai​

問1・問2​

fx=(1−2x2−2xy)e−(x2+y2),fxx=(4x3+4x2y−6x−2y)e−(x2+y2),fxy=(4x2y+4xy2−2x−2y)e−(x2+y2).\begin{aligned} f_x&=(1-2x^2-2xy)e^{-(x^2+y^2)},\\ f_{xx}&=(4x^3+4x^2y-6x-2y)e^{-(x^2+y^2)},\\ f_{xy}&=(4x^2y+4xy^2-2x-2y)e^{-(x^2+y^2)}. \end{aligned}

問3​

h=x−1, k=y+1h=x-1,\ k=y+1 とおく。(1,−1)(1,-1) では f=0f=0、fx=fy=e−2f_x=f_y=e^{-2}、fxx=−4e−2f_{xx}=-4e^{-2}、fxy=0f_{xy}=0、fyy=4e−2f_{yy}=4e^{-2} である。よって、

f(1+h,−1+k)=e−2(h+k−2h2+2k2)+O((∣h∣+∣k∣)3).\boxed{f(1+h,-1+k)=e^{-2}(h+k-2h^2+2k^2)+O((|h|+|k|)^3)}.

問4​

(1/2,1/2)(1/2,1/2) では fx=fy=0f_x=f_y=0 であり、Hessian は

H=e−1/2(−3−1−1−3).H=e^{-1/2}\begin{pmatrix}-3&-1\\-1&-3\end{pmatrix}.

固有値は −4e−1/2,−2e−1/2-4e^{-1/2},-2e^{-1/2} で、ともに負である。したがって、この点で極大値 f(1/2,1/2)=e−1/2f(1/2,1/2)=e^{-1/2} をとる。

問5​

制約上では f=e−1(x+y)f=e^{-1}(x+y)。x,y≥0x,y\ge0 と x2+y2=1x^2+y^2=1 から、

1≤x+y≤2.1\le x+y\le\sqrt2.

下側の等号は (1,0),(0,1)(1,0),(0,1)、上側は (1/2,1/2)(1/\sqrt2,1/\sqrt2) で成り立つ。よって、

最大値 2e(x=y=12),最小値 1e((x,y)=(1,0),(0,1)).\boxed{\text{最大値 }\frac{\sqrt2}{e}\quad\left(x=y=\frac1{\sqrt2}\right),\qquad \text{最小値 }\frac1e\quad\bigl((x,y)=(1,0),(0,1)\bigr)}.
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