東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2016年8月実施 専門基礎科目 第3問

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• 傅里叶变换
• 傅里叶变换的尺度变换与频移
• 卷积

Author

犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

関数 $f(x)$ のフーリエ変換を

$$\mathcal F_f(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ixt}\,dx$$

と定義する。$x,t$ は実数、$i=\sqrt{-1}$ である。以下の問に答えよ。

(問1) 実数 $a$ に対して $g(x)=f(x-a)$ とするとき、次式を示せ。

$$\mathcal F_g(t)=e^{-iat}\mathcal F_f(t).$$

(問2) 正の実数 $b$ に対して $h(x)=f(bx)$ とするとき、次式を示せ。

$$\mathcal F_h(t)=\frac1b\mathcal F_f\left(\frac tb\right).$$

(問3) $f(x)=e^{-|x|}$ のとき、$\mathcal F_f(t)$ を求めよ。

(問4) $f(x)=e^{-x^2/2}$ のとき、次の積分を用いて $\mathcal F_f(t)$ を求めよ。

$$\int_{-\infty}^\infty\exp\left(-\frac12(x+it)^2\right)dx=\sqrt{2\pi}.$$

(問5) $f,g$ の畳み込みを

$$(f*g)(x)=\int_{-\infty}^\infty f(s)g(x-s)\,ds$$

と定義する。$\mu_1,\mu_2$ を実数、$\sigma_1^2,\sigma_2^2$ を正の実数とし、

$$f_1(x)=\exp\left[-\frac{(x-\mu_1)^2}{2\sigma_1^2}\right],\qquad f_2(x)=\exp\left[-\frac{(x-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2}\right]$$

とするとき、$\mathcal F_{f_1*f_2}(t)$ を求めよ。

题目描述

定义 Fourier 变换

$$\mathcal F_f(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(x)e^{-ixt}\,dx,$$

其中 $x,t\in\mathbb R$，$i^2=-1$。

1. 对实数 $a$，令 $g(x)=f(x-a)$，证明 $\mathcal F_g(t)=e^{-iat}\mathcal F_f(t)$。
2. 对 $b>0$，令 $h(x)=f(bx)$，证明 $\mathcal F_h(t)=b^{-1}\mathcal F_f(t/b)$。
3. 求 $f(x)=e^{-|x|}$ 的 Fourier 变换。
4. 利用

$$\int_{-\infty}^\infty e^{-(x+it)^2/2}\,dx=\sqrt{2\pi}$$

求 $f(x)=e^{-x^2/2}$ 的 Fourier 变换。

5. 定义卷积 $(f*g)(x)=\int_{-\infty}^\infty f(s)g(x-s)\,ds$。给定 $\mu_1,\mu_2\in\mathbb R$、$\sigma_1^2,\sigma_2^2>0$，令

$$f_1(x)=e^{-(x-\mu_1)^2/(2\sigma_1^2)},\qquad f_2(x)=e^{-(x-\mu_2)^2/(2\sigma_2^2)}.$$

求 $\mathcal F_{f_1*f_2}(t)$。

Kai

問1

$u=x-a$ と変数変換して、

$$\mathcal F_g(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(u)e^{-i(u+a)t}\,du =e^{-iat}\mathcal F_f(t).$$

問2

$u=bx$、$b>0$ より、

$$\mathcal F_h(t)=\frac1{b\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^\infty f(u)e^{-iu(t/b)}\,du =\frac1b\mathcal F_f(t/b).$$

問3

$$\mathcal F_f(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}}\left\{\int_{-\infty}^0e^{(1-it)x}\,dx +\int_0^\infty e^{-(1+it)x}\,dx\right\} =\frac1{\sqrt{2\pi}}\left(\frac1{1-it}+\frac1{1+it}\right) =\boxed{\sqrt{\frac2\pi}\frac1{1+t^2}}.$$

問4

$-x^2/2-ixt=-(x+it)^2/2-t^2/2$ より、

$$\mathcal F_f(t)=\frac{e^{-t^2/2}}{\sqrt{2\pi}} \int_{-\infty}^\infty e^{-(x+it)^2/2}\,dx=\boxed{e^{-t^2/2}}.$$

問5

$s_j=\sqrt{\sigma_j^2}>0$ とおく。問1、問2、問4より、

$$\mathcal F_{f_j}(t)=s_j e^{-i\mu_jt-\sigma_j^2t^2/2}.$$

畳み込みの定義に $u=x-s$ を代入し、積分を分離すると、

$$\mathcal F_{f*g}(t)=\frac1{\sqrt{2\pi}} \int_{\mathbb R}\int_{\mathbb R}f(s)g(u)e^{-i(s+u)t}\,du\,ds =\sqrt{2\pi}\mathcal F_f(t)\mathcal F_g(t).$$

したがって、

$$\boxed{\mathcal F_{f_1*f_2}(t)=\sqrt{2\pi\sigma_1^2\sigma_2^2}\, \exp\left[-i(\mu_1+\mu_2)t-\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}{2}t^2\right]}.$$