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東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2016年8月実施 専門基礎科目 第2問

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description​

行列 AA を

A=(411121112)A=\begin{pmatrix}4&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}

とする。このとき、以下の問に答えよ。

(問1) A2,A3A^2,A^3 を求めよ。

(問2) AA の固有値 λ1,λ2,λ3\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3 を全て求めよ。ただし λ1≤λ2≤λ3\lambda_1\le\lambda_2\le\lambda_3 とする。

(問3) AA の固有ベクトル v1,v2,v3v_1,v_2,v_3 を求めよ。ただし、viv_i は固有値 λi\lambda_i に対する固有ベクトルで、その長さは全て1とする。

(問4) i=1,2,3i=1,2,3 に対して Pi=viviTP_i=v_iv_i^{\mathsf T} とする。viTv_i^{\mathsf T} は転置を表す。EE を単位行列として、

A=λ1P1+λ2P2+λ3P3,E=P1+P2+P3A=\lambda_1P_1+\lambda_2P_2+\lambda_3P_3,\qquad E=P_1+P_2+P_3

を示せ。

(問5) 正の整数 nn に対して、次式を証明せよ。

An=λ1nP1+λ2nP2+λ3nP3.A^n=\lambda_1^nP_1+\lambda_2^nP_2+\lambda_3^nP_3.

(問6) 正の整数 nn に対して、AnA^n を求めよ。

题目描述​

给定

A=(411121112).A=\begin{pmatrix}4&1&1\\1&2&1\\1&1&2\end{pmatrix}.
  1. 求 A2,A3A^2,A^3。
  2. 求全部特征值，按 λ1≤λ2≤λ3\lambda_1\le\lambda_2\le\lambda_3 排序。
  3. 求与 λi\lambda_i 对应的单位特征向量 viv_i。
  4. 令 Pi=viviTP_i=v_iv_i^{\mathsf T}，证明
A=λ1P1+λ2P2+λ3P3,E=P1+P2+P3,A=\lambda_1P_1+\lambda_2P_2+\lambda_3P_3,\qquad E=P_1+P_2+P_3,

其中 EE 为单位矩阵。

  1. 对正整数 nn，证明 An=λ1nP1+λ2nP2+λ3nP3A^n=\lambda_1^nP_1+\lambda_2^nP_2+\lambda_3^nP_3。
  2. 写出 AnA^n 的具体矩阵表达式。

Kai​

問1​

A2=(1877765756),A3=(863939392423392324).A^2=\begin{pmatrix}18&7&7\\7&6&5\\7&5&6\end{pmatrix},\qquad A^3=\begin{pmatrix}86&39&39\\39&24&23\\39&23&24\end{pmatrix}.

問2・問3​

det⁡(λE−A)=(λ−1)(λ−2)(λ−5).\det(\lambda E-A)=(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-5).

よって (λ1,λ2,λ3)=(1,2,5)(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)=(1,2,5)。対応する単位固有ベクトルは、例えば

v1=12(01−1),v2=13(−111),v3=16(211).v_1=\frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix}0\\1\\-1\end{pmatrix},\quad v_2=\frac1{\sqrt3}\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix},\quad v_3=\frac1{\sqrt6}\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}.

問4​

P1=12(00001−10−11),P2=13(1−1−1−111−111),P3=16(422211211).P_1=\frac12\begin{pmatrix}0&0&0\\0&1&-1\\0&-1&1\end{pmatrix},\quad P_2=\frac13\begin{pmatrix}1&-1&-1\\-1&1&1\\-1&1&1\end{pmatrix},\quad P_3=\frac16\begin{pmatrix}4&2&2\\2&1&1\\2&1&1\end{pmatrix}.

これらを加えると P1+P2+P3=EP_1+P_2+P_3=E、また P1+2P2+5P3=AP_1+2P_2+5P_3=A となる。

問5​

viTvj=δijv_i^{\mathsf T}v_j=\delta_{ij} より PiPj=δijPiP_iP_j=\delta_{ij}P_i。したがって、問4の式の nn 乗を展開すると、

An=∑i=13λinPi.A^n=\sum_{i=1}^3\lambda_i^nP_i.

問6​

An=16(2⋅2n+4⋅5n−2⋅2n+2⋅5n−2⋅2n+2⋅5n−2⋅2n+2⋅5n3+2⋅2n+5n−3+2⋅2n+5n−2⋅2n+2⋅5n−3+2⋅2n+5n3+2⋅2n+5n).\boxed{A^n=\frac16\begin{pmatrix} 2\cdot2^n+4\cdot5^n&-2\cdot2^n+2\cdot5^n&-2\cdot2^n+2\cdot5^n\\ -2\cdot2^n+2\cdot5^n&3+2\cdot2^n+5^n&-3+2\cdot2^n+5^n\\ -2\cdot2^n+2\cdot5^n&-3+2\cdot2^n+5^n&3+2\cdot2^n+5^n \end{pmatrix}}.
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