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東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2016年8月実施 専門基礎科目 第1問

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description​

(問1) 関数 Γ(s)\Gamma(s) を

Γ(s)=∫0∞xs−1e−x dx(s>0)\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx\qquad(s>0)

と定義する。Γ(1)\Gamma(1)、Γ(0.5)\Gamma(0.5) を求めよ。ガウス積分 ∫−∞∞e−x2 dx=π\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi を用いてよい。

(問2) s>0s>0 に対して Γ(s+1)=sΓ(s)\Gamma(s+1)=s\Gamma(s) となることを示せ。

(問3) 関数 B(α,β)B(\alpha,\beta) を

B(α,β)=∫01tα−1(1−t)β−1 dt(α,β>0)B(\alpha,\beta)=\int_0^1t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\,dt\qquad(\alpha,\beta>0)

と定義するとき、次式を示せ。

∫0π/2sin⁡mxcos⁡nx dx=12B(m+12,n+12)(m,n>0).\int_0^{\pi/2}\sin^m x\cos^n x\,dx =\frac12B\left(\frac{m+1}2,\frac{n+1}2\right)\qquad(m,n>0).

(問4) 多重積分

I=∫0∞∫0∞e−x−yxp−1yq−1 dx dy(p,q>0)I=\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-x-y}x^{p-1}y^{q-1}\,dx\,dy\qquad(p,q>0)

を x+y=u, x/(x+y)=vx+y=u,\ x/(x+y)=v と変数変換し、II を関数 Γ,B\Gamma,B で表すことにより、次式を示せ。

B(p,q)=Γ(p)Γ(q)Γ(p+q).B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}.

(問5) 次の積分値を求めよ。問1〜問4の結果を用いてよい。

∫0π/2sin⁡4xcos⁡2x dx.\int_0^{\pi/2}\sin^4x\cos^2x\,dx.

题目描述​

  1. 定义
Γ(s)=∫0∞xs−1e−x dx(s>0).\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx\quad(s>0).

求 Γ(1),Γ(0.5)\Gamma(1),\Gamma(0.5)。可使用 ∫−∞∞e−x2 dx=π\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi。

  1. 对 s>0s>0，证明 Γ(s+1)=sΓ(s)\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)。
  2. 定义
B(α,β)=∫01tα−1(1−t)β−1 dt(α,β>0).B(\alpha,\beta)=\int_0^1t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\,dt\quad(\alpha,\beta>0).

证明对 m,n>0m,n>0 有

∫0π/2sin⁡mxcos⁡nx dx=12B(m+12,n+12).\int_0^{\pi/2}\sin^m x\cos^n x\,dx =\frac12B\left(\frac{m+1}2,\frac{n+1}2\right).
  1. 对 p,q>0p,q>0，在二重积分
I=∫0∞∫0∞e−x−yxp−1yq−1 dx dyI=\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-x-y}x^{p-1}y^{q-1}\,dx\,dy

中令 u=x+y, v=x/(x+y)u=x+y,\ v=x/(x+y)，用 Γ,B\Gamma,B 表示 II，并证明

B(p,q)=Γ(p)Γ(q)Γ(p+q).B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}.
  1. 求 ∫0π/2sin⁡4xcos⁡2x dx\int_0^{\pi/2}\sin^4x\cos^2x\,dx，可使用前四问的结果。

Kai​

問1​

Γ(1)=∫0∞e−x dx=1.\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-x}\,dx=1.

x=t2x=t^2 とおけば、

Γ(12)=2∫0∞e−t2 dt=π.\Gamma\left(\frac12\right)=2\int_0^\infty e^{-t^2}\,dt=\sqrt\pi.

問2​

s>0s>0 より両端で xse−x→0x^se^{-x}\to0。部分積分から、

Γ(s+1)=[−xse−x]0∞+s∫0∞xs−1e−x dx=sΓ(s).\Gamma(s+1)=[-x^se^{-x}]_0^\infty+s\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx=s\Gamma(s).

問3​

t=sin⁡2xt=\sin^2x、dt=2sin⁡xcos⁡x dxdt=2\sin x\cos x\,dx とおくと、

∫0π/2sin⁡mxcos⁡nx dx=12∫01t(m−1)/2(1−t)(n−1)/2 dt=12B(m+12,n+12).\int_0^{\pi/2}\sin^m x\cos^n x\,dx =\frac12\int_0^1t^{(m-1)/2}(1-t)^{(n-1)/2}\,dt =\frac12B\left(\frac{m+1}2,\frac{n+1}2\right).

問4​

非負の被積分関数を分離すれば、I=Γ(p)Γ(q)I=\Gamma(p)\Gamma(q)。

一方、x=uv, y=u(1−v)x=uv,\ y=u(1-v)、変換後の領域は u>0, 0<v<1u>0,\ 0<v<1 であり、

∣∂(x,y)∂(u,v)∣=∣det⁡(vu1−v−u)∣=u.\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| =\left|\det\begin{pmatrix}v&u\\1-v&-u\end{pmatrix}\right|=u.

したがって、

I=∫0∞e−uup+q−1 du∫01vp−1(1−v)q−1 dv=Γ(p+q)B(p,q).I=\int_0^\infty e^{-u}u^{p+q-1}\,du\int_0^1v^{p-1}(1-v)^{q-1}\,dv =\Gamma(p+q)B(p,q).

両式を比較すると B(p,q)=Γ(p)Γ(q)/Γ(p+q)B(p,q)=\Gamma(p)\Gamma(q)/\Gamma(p+q)。

問5​

∫0π/2sin⁡4xcos⁡2x dx=12Γ(5/2)Γ(3/2)Γ(4)=12(3π/4)(π/2)6=π32.\int_0^{\pi/2}\sin^4x\cos^2x\,dx =\frac12\frac{\Gamma(5/2)\Gamma(3/2)}{\Gamma(4)} =\frac12\frac{(3\sqrt\pi/4)(\sqrt\pi/2)}6 =\boxed{\frac\pi{32}}.
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