東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2016年8月実施 専門基礎科目 第1問

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

(問1) 関数 $\Gamma(s)$ を

$$\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx\qquad(s>0)$$

と定義する。$\Gamma(1)$、$\Gamma(0.5)$ を求めよ。ガウス積分 $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi$ を用いてよい。

(問2) $s>0$ に対して $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$ となることを示せ。

(問3) 関数 $B(\alpha,\beta)$ を

$$B(\alpha,\beta)=\int_0^1t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\,dt\qquad(\alpha,\beta>0)$$

と定義するとき、次式を示せ。

$$\int_0^{\pi/2}\sin^m x\cos^n x\,dx =\frac12B\left(\frac{m+1}2,\frac{n+1}2\right)\qquad(m,n>0).$$

(問4) 多重積分

$$I=\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-x-y}x^{p-1}y^{q-1}\,dx\,dy\qquad(p,q>0)$$

を $x+y=u,\ x/(x+y)=v$ と変数変換し、$I$ を関数 $\Gamma,B$ で表すことにより、次式を示せ。

$$B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}.$$

(問5) 次の積分値を求めよ。問1〜問4の結果を用いてよい。

$$\int_0^{\pi/2}\sin^4x\cos^2x\,dx.$$

题目描述

1. 定义

$$\Gamma(s)=\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx\quad(s>0).$$

求 $\Gamma(1),\Gamma(0.5)$。可使用 $\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi$。

2. 对 $s>0$，证明 $\Gamma(s+1)=s\Gamma(s)$。
3. 定义

$$B(\alpha,\beta)=\int_0^1t^{\alpha-1}(1-t)^{\beta-1}\,dt\quad(\alpha,\beta>0).$$

证明对 $m,n>0$ 有

$$\int_0^{\pi/2}\sin^m x\cos^n x\,dx =\frac12B\left(\frac{m+1}2,\frac{n+1}2\right).$$

4. 对 $p,q>0$，在二重积分

$$I=\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-x-y}x^{p-1}y^{q-1}\,dx\,dy$$

中令 $u=x+y,\ v=x/(x+y)$，用 $\Gamma,B$ 表示 $I$，并证明

$$B(p,q)=\frac{\Gamma(p)\Gamma(q)}{\Gamma(p+q)}.$$

5. 求 $\int_0^{\pi/2}\sin^4x\cos^2x\,dx$，可使用前四问的结果。

Kai

問1

$$\Gamma(1)=\int_0^\infty e^{-x}\,dx=1.$$

$x=t^2$ とおけば、

$$\Gamma\left(\frac12\right)=2\int_0^\infty e^{-t^2}\,dt=\sqrt\pi.$$

問2

$s>0$ より両端で $x^se^{-x}\to0$。部分積分から、

$$\Gamma(s+1)=[-x^se^{-x}]_0^\infty+s\int_0^\infty x^{s-1}e^{-x}\,dx=s\Gamma(s).$$

問3

$t=\sin^2x$、$dt=2\sin x\cos x\,dx$ とおくと、

$$\int_0^{\pi/2}\sin^m x\cos^n x\,dx =\frac12\int_0^1t^{(m-1)/2}(1-t)^{(n-1)/2}\,dt =\frac12B\left(\frac{m+1}2,\frac{n+1}2\right).$$

問4

非負の被積分関数を分離すれば、$I=\Gamma(p)\Gamma(q)$。

一方、$x=uv,\ y=u(1-v)$、変換後の領域は $u>0,\ 0<v<1$ であり、

$$\left|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\right| =\left|\det\begin{pmatrix}v&u\\1-v&-u\end{pmatrix}\right|=u.$$

したがって、

$$I=\int_0^\infty e^{-u}u^{p+q-1}\,du\int_0^1v^{p-1}(1-v)^{q-1}\,dv =\Gamma(p+q)B(p,q).$$

両式を比較すると $B(p,q)=\Gamma(p)\Gamma(q)/\Gamma(p+q)$。

問5

$$\int_0^{\pi/2}\sin^4x\cos^2x\,dx =\frac12\frac{\Gamma(5/2)\Gamma(3/2)}{\Gamma(4)} =\frac12\frac{(3\sqrt\pi/4)(\sqrt\pi/2)}6 =\boxed{\frac\pi{32}}.$$