東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2015年8月実施 専門基礎科目 第4問

标签：

• Tokyo-University
• Conditional-Density
• Marginalization-of-Conditional-Density
• Convolution-of-Independent-Random-Variables

Author

犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

実数値の確率変数 $X$ の確率密度関数、$Y$ の条件付き確率密度関数、$Z$ の確率密度関数がそれぞれ

$$p_X(x)=\begin{cases}cx^{-4}&x\ge1,\\0&\text{それ以外},\end{cases}\qquad p_{Y\mid X}(y\mid x)=\begin{cases}x^{-1}&0\le y\le x,\\0&\text{それ以外},\end{cases}$$

$$p_Z(z)=\begin{cases}1&0\le z\le1,\\0&\text{それ以外}\end{cases}$$

で与えられる。以下の問に答えよ。

(問1) 定数 $c$ を求めよ。

(問2) $X$ の期待値と分散を求めよ。

(問3) $X$ の累積分布関数を求めよ。

(問4) $Y$ の周辺確率密度関数 $p_Y(y)$ を求めよ。

(問5) $Y$ が与えられたときの $X$ の条件付き確率密度関数 $p_{X\mid Y}(x\mid y)$ を求めよ。

(問6) $X$ と $Z$ が独立なとき、$U=X+Z$ の確率密度関数 $p_U(u)$ を求めよ。

题目描述

实值随机变量 $X$ 的密度、$Y$ 给定 $X=x$ 时的条件密度、$Z$ 的密度分别为

$$p_X(x)=\begin{cases}cx^{-4}&x\ge1,\\0&\text{其他},\end{cases}\qquad p_{Y\mid X}(y\mid x)=\begin{cases}x^{-1}&0\le y\le x,\\0&\text{其他},\end{cases}$$

$$p_Z(z)=\begin{cases}1&0\le z\le1,\\0&\text{其他}.\end{cases}$$

1. 求归一化常数 $c$。
2. 求 $X$ 的期望与方差。
3. 求 $X$ 的累积分布函数。
4. 求 $Y$ 的边缘密度。
5. 求给定 $Y=y$ 时 $X$ 的条件密度。
6. 若 $X,Z$ 独立，求 $U=X+Z$ 的密度。

Kai

問1・問2

正規化条件より $1=c\int_1^\infty x^{-4}\,dx=c/3$、したがって $c=3$。

$$E[X]=3\int_1^\infty x^{-3}\,dx=\frac32,\qquad E[X^2]=3\int_1^\infty x^{-2}\,dx=3, \qquad\operatorname{Var}(X)=\frac34.$$

問3

$$F_X(x)=\begin{cases}0&x<1,\\1-x^{-3}&x\ge1.\end{cases}$$

問4

同時密度は $x\ge1,\ 0\le y\le x$ 上で $3x^{-5}$。よって

$$p_Y(y)=\begin{cases} \displaystyle\int_{\max(1,y)}^\infty3x^{-5}\,dx=\frac3{4\max(1,y)^4}&y\ge0,\\ 0&y<0. \end{cases}$$

問5

$y\ge0$ に対し $m=\max(1,y)$ とおく。Bayes の公式から、

$$p_{X\mid Y}(x\mid y)=\begin{cases}4m^4x^{-5}&x\ge m,\\0&x$$

問6

独立性による畳み込みより、$u\ge1$ では

$$p_U(u)=\int_{\max(1,u-1)}^u3x^{-4}\,dx.$$

したがって、

$$\boxed{p_U(u)=\begin{cases} 0&u<1,\\ 1-u^{-3}&1\le u<2,\\ (u-1)^{-3}-u^{-3}&u\ge2. \end{cases}}$$