東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2015年8月実施 専門基礎科目 第3問

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

時刻 $t$ に関する $N$ 個の実関数 $x_j(t)$、$j=0,1,\ldots,N-1$ についての微分方程式

$$\frac{d}{dt}x_j(t)+ax_j(t)=\frac b2\{x_{j-1}(t)+x_{j+1}(t)\},\qquad j=0,1,\ldots,N-1 \tag{1}$$

を考える。$N$ は正の偶数、$a,b$ は実数である。初期値は

$$x_j(0)\ne0,\qquad\sum_{j=0}^{N-1}x_j(0)\ne0,\qquad \sum_{j=0}^{N-1}(-1)^jx_j(0)\ne0 \tag{2}$$

を満たす。また、周期境界条件 $x_{-1}(t)=x_{N-1}(t),\ x_N(t)=x_0(t)$ を課す。

(問1) 式(1)で $b=0$ としたとき、$x_j(t)$ を $x_j(0)$ を用いて示せ。

(問2) 問1の $x_j(t)$ に関して、$\lim_{t\to+\infty}x_j(t)=0$ となる $a$ の条件を求めよ。

これ以降、$b$ は0と限らない。

(問3) 平均値

$$\bar x(t)=\frac1N\sum_{j=0}^{N-1}x_j(t) \tag{3}$$

の満たす微分方程式を式(1),(3)から求めよ。また、$\lim_{t\to+\infty}\bar x(t)=0$ となる $a,b$ の条件を求めよ。

(問4) 離散フーリエ変換を

$$X_k(t)=\frac1N\sum_{j=0}^{N-1}\exp\left(\frac{2\pi i kj}{N}\right)x_j(t),\qquad k=0,1,\ldots,N-1 \tag{4}$$

と定義する。$i$ は虚数単位である。式(1),(4)を用いて、$X_k(t)$ の満たす微分方程式を求めよ。

(問5) 全ての $j$ に対して $\lim_{t\to+\infty}x_j(t)=0$ となる $a,b$ の条件を求めよ。必要なら次式を用いてよい。

$$x_j(t)=\sum_{k=0}^{N-1}\exp\left(-\frac{2\pi i kj}{N}\right)X_k(t). \tag{5}$$

题目描述

考虑 $N$ 个实函数 $x_j(t)$ 满足的微分方程组

$$x'_j(t)+ax_j(t)=\frac b2\{x_{j-1}(t)+x_{j+1}(t)\},\quad j=0,\ldots,N-1.$$

其中 $N$ 为正偶数，$a,b\in\mathbb R$。初值满足每个 $x_j(0)\ne0$，以及

$$\sum_{j=0}^{N-1}x_j(0)\ne0,\qquad\sum_{j=0}^{N-1}(-1)^jx_j(0)\ne0.$$

使用周期边界条件 $x_{-1}=x_{N-1},\ x_N=x_0$。

1. 在 $b=0$ 时，用初值表示 $x_j(t)$。
2. 对第1问的解，求 $t\to+\infty$ 时 $x_j(t)\to0$ 的 $a$ 的条件。
3. 此后 $b$ 不限于0。定义 $\bar x(t)=N^{-1}\sum_jx_j(t)$，求它满足的微分方程，以及 $\bar x(t)\to0$ 的 $a,b$ 的条件。
4. 定义离散 Fourier 变换

$$X_k(t)=\frac1N\sum_{j=0}^{N-1}e^{2\pi i kj/N}x_j(t),\quad k=0,\ldots,N-1.$$

求 $X_k(t)$ 满足的微分方程，其中 $i^2=-1$。

5. 求所有 $x_j(t)$ 都趋于0的 $a,b$ 的条件。必要时可使用逆变换

$$x_j(t)=\sum_{k=0}^{N-1}e^{-2\pi i kj/N}X_k(t).$$

Kai

問1・問2

$$x_j(t)=x_j(0)e^{-at},\qquad\lim_{t\to+\infty}x_j(t)=0\iff a>0.$$

後者では $x_j(0)\ne0$ を用いた。

問3

周期境界条件により $\sum_jx_{j-1}=\sum_jx_{j+1}=\sum_jx_j$。したがって、

$$\bar x'(t)=(b-a)\bar x(t),\qquad\bar x(t)=\bar x(0)e^{(b-a)t}.$$

$\bar x(0)\ne0$ より、必要十分条件は $a>b$。

問4

添字を周期的にずらすと、$x_{j-1}$、$x_{j+1}$ の変換はそれぞれ $e^{2\pi ik/N}X_k$、$e^{-2\pi ik/N}X_k$ となる。よって

$$\boxed{X'_k(t)=\left(b\cos\frac{2\pi k}{N}-a\right)X_k(t)}.$$

問5

各モードは

$$X_k(t)=X_k(0)\exp\left[\left(b\cos\frac{2\pi k}{N}-a\right)t\right].$$

$a>|b|$ なら全指数が負となるので、逆変換より全ての $x_j(t)$ は0に収束する。

逆に、全ての $x_j(t)\to0$ なら $X_0(t),X_{N/2}(t)\to0$。式(2)から両者の初期値は非零なので、$b-a<0$ かつ $-b-a<0$ が必要である。したがって、必要十分条件は

$$\boxed{a>|b|}.$$