東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2015年8月実施 専門基礎科目 第2問

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Author

犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

次の3次正方行列 $A,B,C$ を考える。

$$A=\begin{pmatrix}x&4-x^2&0\\1&x-1&x+2\\0&x-2&x\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&0\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}.$$

このとき、以下の問に答えよ。

(問1) $\det A$ を求めよ。さらに、$\det A=0$ を満たす $x$ を全て求めよ。

(問2) 問1で求めた全ての $x$ に対して、$\operatorname{rank}A$ を求めよ。

(問3) $\det A,\det(AB),\det(BA)$ の $x$ に関する次数を求めよ。

(問4) $\det(AC),\det(CA)$ を求めよ。

(問5) $A$ の固有値を全て求めよ。

(問6) 問5で求めた固有値のうち、重複度が1である固有値に対する固有ベクトルを求めよ。

题目描述

考虑三个三阶方阵

$$A=\begin{pmatrix}x&4-x^2&0\\1&x-1&x+2\\0&x-2&x\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&0\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}.$$

1. 求 $\det A$，并求使其为零的所有 $x$。
2. 对第1问得到的每个 $x$，求 $A$ 的秩。
3. 求 $\det A,\det(AB),\det(BA)$ 作为 $x$ 的多项式的次数。
4. 求 $\det(AC),\det(CA)$。
5. 求 $A$ 的全部特征值。
6. 求代数重数为1的特征值对应的特征向量。

Kai

問1

第1行で展開して、

$$\det A=x\{x(x-1)-(x+2)(x-2)\}-x(4-x^2)=x^2(x-1).$$

よって $\det A=0$ となるのは $x=0,1$。

問2

左上の2次小行列式は $x=0$ で $-4$、$x=1$ で $-3$ である。問1より行列式は0なので、いずれも $\operatorname{rank}A=2$。

問3

$\det B=27$ より、

$$\det(AB)=\det(BA)=27x^2(x-1).$$

したがって、3つとも $x$ に関して3次。

問4

$C$ の列は線形従属であり $\det C=0$。よって $\det(AC)=\det(CA)=0$。

問5

$M=A-xI$ とおくと、

$$\det(M-\mu I)=-\mu^2(\mu+1).$$

したがって、$A$ の固有値は $x$（重複度2）、$x-1$（重複度1）。

問6

$\{A-(x-1)I\}v=0$ を解くと、

$$\boxed{v=c\begin{pmatrix}x^2-4\\1\\2-x\end{pmatrix}\quad(c\ne0)}.$$