東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2015年8月実施 専門基礎科目 第1問

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

以下の問に答えよ。ただし、$e$ は自然対数の底である。

(問1) 次の関数の4次の導関数をそれぞれ求めよ。

(1) $f(x)=e^x\cos x$　(2) $f(x)=\tan x$。

(問2) 次の関数を $x=0$ のまわりで4次の項まで Taylor 展開せよ。ただし、$q$ は実数である。

(1) $f(x)=e^x\cos x$　(2) $f(x)=(1+x)^q$　(3) $f(x)=\log_e(1+x)$。

(問3) 次の極限値を求めよ。問2の結果を用いてもよい。

$$\text{(1)}\quad\lim_{x\to0}\frac{e^x\cos x-1}{\tan x},\qquad \text{(2)}\quad\lim_{x\to0}\frac{\log_e(1+x^2)}{1-\cos x}.$$

(問4) 次の積分値を誤差 $0.01$ 以内で求めよ。問2の結果を用いてもよい。

$$I=\int_0^{1/2}\frac{dx}{(1+x^3)^2}.$$

题目描述

回答以下问题，$e$ 为自然对数的底。

1. 分别求 $e^x\cos x$ 和 $\tan x$ 的四阶导数。
2. 将 $e^x\cos x$、$(1+x)^q$、$\log_e(1+x)$ 在 $x=0$ 附近展开至四次项，其中 $q\in\mathbb R$。
3. 求极限，可使用第2问结果：

$$\text{(1)}\quad\lim_{x\to0}\frac{e^x\cos x-1}{\tan x},\qquad \text{(2)}\quad\lim_{x\to0}\frac{\log_e(1+x^2)}{1-\cos x}.$$

4. 求下列积分的近似值，误差不超过 $0.01$；可使用第2问结果：

$$I=\int_0^{1/2}\frac{dx}{(1+x^3)^2}.$$

Kai

問1

(1) $f^{(4)}(x)=-4e^x\cos x$。

(2) $f'=\sec^2x$、$f^{(3)}=6\sec^4x-4\sec^2x$ より、

$$f^{(4)}(x)=\frac{24\sin x}{\cos^5x}-\frac{8\sin x}{\cos^3x}.$$

問2

$$\begin{aligned} \text{(1)}\quad e^x\cos x&=1+x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^4}{6}+O(x^5),\\ \text{(2)}\quad(1+x)^q&=1+qx+\frac{q(q-1)}2x^2+\frac{q(q-1)(q-2)}6x^3 +\frac{q(q-1)(q-2)(q-3)}{24}x^4+O(x^5),\\ \text{(3)}\quad\log(1+x)&=x-\frac{x^2}2+\frac{x^3}3-\frac{x^4}4+O(x^5). \end{aligned}$$

問3

(1) 分子・分母の主要項はいずれも $x$ なので、極限値は $1$。

(2) 分子の主要項は $x^2$、分母は $x^2/2$ なので、極限値は $2$。

問4

$0\le u\le1/8$ に対し、

$$0\le\frac1{(1+u)^2}-(1-2u) =\frac{u^2(3+2u)}{(1+u)^2}\le3u^2.$$

$u=x^3$ とおけば、

$$0\le I-\int_0^{1/2}(1-2x^3)\,dx \le3\int_0^{1/2}x^6\,dx=\frac3{896}<0.01.$$

したがって、求める近似値の一つは

$$\boxed{I\simeq\frac{15}{32}=0.46875}.$$