東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2014年8月実施 専門基礎科目 第4問

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

非負整数値をとる確率変数 $X$ が、任意の非負整数 $n$ に対して

$$\Pr(X\ge n+1)=\Pr(X\ge n)\Pr(X\ge1)$$

を満たすとする。$\Pr(X\ge1)=p$（$0<p<1$）とし、$P_p(n)=\Pr(X\ge n)$、$Q_p(n)=\Pr(X=n)$ とおく。

1. $P_p(n)$ と $Q_p(n)$ を求めよ。
2. ある事象が各試行で独立に確率 $0.1$ で起こる。初めてその事象が起こるまでの試行回数を $S$ とする。$\Pr(S=n)$ を $Q_p$ を用いて表せ。
3. $X_1,X_2$ は互いに独立で $X$ と同じ分布に従うとし、$Y=X_1+X_2$ とおく。$0\le m\le n$ に対して $\Pr(X_1=m)\Pr(X_2=n-m)$ を求め、$\Pr(Y=n)$ を求めよ。
4. $X_1,\ldots,X_r$ は互いに独立で $X$ と同じ分布に従うとする。$Z=X_1+\cdots+X_r$ に対して $\Pr(Z=n)$ を求めよ。
5. 問2と同じ試行を繰り返し、事象が $r$ 回起こるまでの試行回数を $U$ とする。$\Pr(U=n)$ を求めよ。

题目描述

非负整数值随机变量 $X$ 对任意非负整数 $n$ 满足

$$\Pr(X\ge n+1)=\Pr(X\ge n)\Pr(X\ge1).$$

设 $\Pr(X\ge1)=p$（$0<p<1$），记 $P_p(n)=\Pr(X\ge n)$，$Q_p(n)=\Pr(X=n)$。

1. 求 $P_p(n)$ 和 $Q_p(n)$。
2. 某事件在每次独立试验中以概率 $0.1$ 发生。设 $S$ 为该事件首次发生时的试验次数，用 $Q_p$ 表示 $\Pr(S=n)$。
3. 设 $X_1,X_2$ 相互独立且与 $X$ 同分布，$Y=X_1+X_2$。对 $0\le m\le n$，求 $\Pr(X_1=m)\Pr(X_2=n-m)$，进而求 $\Pr(Y=n)$。
4. 设 $X_1,\ldots,X_r$ 相互独立且与 $X$ 同分布，$Z=X_1+\cdots+X_r$，求 $\Pr(Z=n)$。
5. 重复第2问中的试验，设 $U$ 为该事件第 $r$ 次发生时的试验次数，求 $\Pr(U=n)$。

Kai

問1

$P_p(0)=1$, $P_p(n+1)=pP_p(n)$ より

$$\boxed{P_p(n)=p^n},\qquad \boxed{Q_p(n)=P_p(n)-P_p(n+1)=(1-p)p^n}\quad(n\ge0).$$

問2

$S-1$ は成功前の失敗回数なので

$$\boxed{\Pr(S=n)=Q_{0.9}(n-1)=0.1(0.9)^{n-1}}\quad(n\ge1).$$

問3

独立性と問1より、$0\le m\le n$ に対して

$$\Pr(X_1=m)\Pr(X_2=n-m) =(1-p)p^m(1-p)p^{n-m}=\boxed{(1-p)^2p^n}.$$

したがって

$$\boxed{\Pr(Y=n)=\sum_{m=0}^n(1-p)^2p^n=(n+1)(1-p)^2p^n}\quad(n\ge0).$$

問4

$n_1+\cdots+n_r=n$ を満たす非負整数の組は $\binom{n+r-1}{r-1}$ 個あり、各組の確率は $(1-p)^rp^n$ である。よって

$$\boxed{\Pr(Z=n)=\binom{n+r-1}{r-1}(1-p)^rp^n}\quad(n\ge0).$$

問5

$n$ 回目が成功し、最初の $n-1$ 回に $r-1$ 回の成功があることが必要十分である。したがって

$$\boxed{\Pr(U=n)=\binom{n-1}{r-1}(0.1)^r(0.9)^{n-r}}\quad(n\ge r).$$

各確率は、上記の範囲外では $0$ である。