東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2014年8月実施 専門基礎科目 第3問

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

$\omega_2>\omega_1>0$, $a,b>0$ とし、

$$f(t)=\cos\omega_1t+\cos\omega_2t,\qquad g(t)=\begin{cases}b,&|t|\le a,\\0,&|t|>a\end{cases}$$

とおく。関数 $\alpha(t)$ のフーリエ変換を $A(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\alpha(t)e^{-i\omega t}\,dt$ とする。デルタ関数の表示 $\delta(\omega)=\dfrac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\omega t}\,dt$ を用いてよい。

1. $g(t)$ のフーリエ変換 $G(\omega)$ を求めよ。
2. $f(t)g(t)$ のフーリエ変換を $G(\omega)$ を用いて表せ。
3. $\alpha(t),\beta(t)$ のフーリエ変換をそれぞれ $A(\omega),B(\omega)$ とするとき、畳み込み $\int_{-\infty}^{\infty}\alpha(\tau)\beta(t-\tau)\,d\tau$ のフーリエ変換が $A(\omega)B(\omega)$ となることを示せ。
4. $h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$ とする。$\omega_2=2\omega_1$ のとき、$h(t)=\cos\omega_1t$ となる最小の $a$ と、そのときの $b$ を求めよ。
5. $\omega_2=\dfrac32\omega_1$, $c>0$ とする。$h(t-c)=\sin\omega_2t$ となる最小の $a$ と、そのときの $b,c$ を求めよ。

题目描述

设 $\omega_2>\omega_1>0$，$a,b>0$，并定义

$$f(t)=\cos\omega_1t+\cos\omega_2t,\qquad g(t)=\begin{cases}b,&|t|\le a,\\0,&|t|>a.\end{cases}$$

采用傅里叶变换 $A(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}\alpha(t)e^{-i\omega t}\,dt$。可使用狄拉克函数的表示式 $\delta(\omega)=\dfrac1{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-i\omega t}\,dt$。

1. 求 $g(t)$ 的傅里叶变换 $G(\omega)$。
2. 用 $G(\omega)$ 表示 $f(t)g(t)$ 的傅里叶变换。
3. 设 $\alpha(t),\beta(t)$ 的傅里叶变换分别为 $A(\omega),B(\omega)$，证明卷积 $\int_{-\infty}^{\infty}\alpha(\tau)\beta(t-\tau)\,d\tau$ 的傅里叶变换为 $A(\omega)B(\omega)$。
4. 定义 $h(t)=\int_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(t-\tau)\,d\tau$。当 $\omega_2=2\omega_1$ 时，求使 $h(t)=\cos\omega_1t$ 成立的最小 $a$ 及此时的 $b$。
5. 当 $\omega_2=\dfrac32\omega_1$，$c>0$ 时，求使 $h(t-c)=\sin\omega_2t$ 成立的最小 $a$ 及此时的 $b,c$。

Kai

問1

$$G(\omega)=b\int_{-a}^a e^{-i\omega t}\,dt =\boxed{\frac{2b\sin(a\omega)}\omega},\qquad G(0)=2ab.$$

問2

$\cos\omega_jt=(e^{i\omega_jt}+e^{-i\omega_jt})/2$ より

$$\boxed{\mathcal F[fg](\omega)=\frac12\left[G(\omega-\omega_1)+G(\omega+\omega_1)+G(\omega-\omega_2)+G(\omega+\omega_2)\right]}.$$

問3

積分順序を交換し、$s=t-\tau$ とおくと

$$\begin{aligned} \mathcal F[\alpha*\beta](\omega) &=\int_{-\infty}^\infty\alpha(\tau) \left[\int_{-\infty}^\infty\beta(t-\tau)e^{-i\omega t}\,dt\right]d\tau\\ &=\int_{-\infty}^\infty\alpha(\tau)e^{-i\omega\tau}\,d\tau \int_{-\infty}^\infty\beta(s)e^{-i\omega s}\,ds =A(\omega)B(\omega). \end{aligned}$$

問4

$g$ は偶関数なので、直接積分して

$$h(t)=G(\omega_1)\cos\omega_1t+G(\omega_2)\cos\omega_2t.$$

したがって $G(\omega_1)=1$, $G(2\omega_1)=0$ が必要十分である。後者より $2a\omega_1=k\pi$（$k\ge1$）。最小の $k=1$ で前者を満たす $b>0$ が存在し、

$$\boxed{a=\frac\pi{2\omega_1},\qquad b=\frac{\omega_1}{2}}.$$

問5

周波数 $\omega_1$ の成分を消すには $\sin(a\omega_1)=0$ が必要なので、最小候補は $a=\pi/\omega_1$。このとき

$$G(\omega_2)=\frac{2b\sin(3\pi/2)}{3\omega_1/2}=-\frac{4b}{3\omega_1}.$$

よって振幅条件から $b=3\omega_1/4$ であり、$h(t-c)=-\cos(\omega_2t-\omega_2c)$。これが $\sin\omega_2t$ と一致する条件は $\omega_2c=3\pi/2+2k\pi$ である。したがって

$$\boxed{a=\frac\pi{\omega_1},\quad b=\frac{3\omega_1}{4},\quad c=\frac\pi{\omega_1}+\frac{4k\pi}{3\omega_1}\quad(k=0,1,2,\ldots)}.$$

特に、最小の正の $c$ は $\pi/\omega_1$ である。