東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2014年8月実施 専門基礎科目 第2問

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Author

犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

$a,b,c$ を正の実数、$d$ を実数とし、次の線形変換を考える。

$$\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix} =A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},\qquad A=\begin{pmatrix}a&b&c\\a&-b&c\\a&0&d\end{pmatrix}.$$

点 $P$ を中心とする半径 $1$ の球面を $X$ とし、$X$ のこの変換による像を $U$ とする。

1. 任意の $(u,v,w)$ に対して、それに対応する $(x,y,z)$ が存在するための必要十分条件を求めよ。
2. $P$ が原点のとき、$U$ が原点を中心とする半径 $2$ の球面になるように $a,b,c,d$ を定めよ。
3. $P=(\sqrt3,\sqrt2,\sqrt6)$ とする。原点、$(1,1,1)$、$(1,-1,0)$ を通る平面を $S$ とする。問2の $a,b,c,d$ に対して、$U$ と $S$ の最短距離を求めよ。
4. $(a,b,c,d)=(1,1,1,-1)$ のとき、$A^{\mathsf T}A$ の固有値をすべて求めよ。
5. 問4の $a,b,c,d$ に対して、$U$ 上の2点間の距離の最大値を求めよ。

题目描述

设 $a,b,c$ 为正实数，$d$ 为实数，考虑线性变换

$$\begin{pmatrix}u\\v\\w\end{pmatrix} =A\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix},\qquad A=\begin{pmatrix}a&b&c\\a&-b&c\\a&0&d\end{pmatrix}.$$

设 $X$ 是以点 $P$ 为中心、半径为 $1$ 的球面，$U$ 为 $X$ 在此变换下的像。

1. 求任意 $(u,v,w)$ 均存在对应 $(x,y,z)$ 的充要条件。
2. 当 $P$ 为原点时，求使 $U$ 成为以原点为中心、半径为 $2$ 的球面的 $a,b,c,d$。
3. 设 $P=(\sqrt3,\sqrt2,\sqrt6)$，平面 $S$ 经过原点、$(1,1,1)$ 和 $(1,-1,0)$。对第2问中的参数，求 $U$ 与 $S$ 的最短距离。
4. 当 $(a,b,c,d)=(1,1,1,-1)$ 时，求 $A^{\mathsf T}A$ 的全部特征值。
5. 对第4问中的参数，求 $U$ 上两点间距离的最大值。

Kai

問1

全射であるための必要十分条件は $\det A\ne0$ である。

$$\det A=2ab(c-d),\qquad a,b>0$$

より、求める条件は $\boxed{c\ne d}$。

問2

任意の単位ベクトル $\boldsymbol x$ に対して $\|A\boldsymbol x\|^2=4$ となる条件は $A^{\mathsf T}A=4I$ である。

$$A^{\mathsf T}A= \begin{pmatrix} 3a^2&0&a(2c+d)\\ 0&2b^2&0\\ a(2c+d)&0&2c^2+d^2 \end{pmatrix}.$$

よって $3a^2=2b^2=2c^2+d^2=4$, $d=-2c$。正値条件から

$$\boxed{a=\frac2{\sqrt3},\quad b=\sqrt2,\quad c=\frac{\sqrt6}{3},\quad d=-\frac{2\sqrt6}{3}}.$$

このとき $A/2$ は直交行列なので、像は半径 $2$ の球面全体となる。

問3

$U$ の中心は $AP=(6,2,-2)$、半径は $2$ である。$S$ の方程式は $u+v-2w=0$ なので、中心から $S$ までの距離は

$$\frac{|6+2-2(-2)|}{\sqrt{1^2+1^2+(-2)^2}}=2\sqrt6>2.$$

したがって最短距離は $\boxed{2\sqrt6-2}$。

問4

$$A^{\mathsf T}A= \begin{pmatrix}3&0&1\\0&2&0\\1&0&3\end{pmatrix},\qquad \det(\lambda I-A^{\mathsf T}A)=(\lambda-2)^2(\lambda-4).$$

固有値は $\boxed{2,2,4}$。

問5

$U$ 上の2点は $AP+A\boldsymbol s$, $AP+A\boldsymbol t$（$\|\boldsymbol s\|=\|\boldsymbol t\|=1$）と表せる。最大固有値が $4$ なので

$$\|A(\boldsymbol s-\boldsymbol t)\|\le2\|\boldsymbol s-\boldsymbol t\|\le4.$$

$\boldsymbol s=(1,0,1)^{\mathsf T}/\sqrt2$, $\boldsymbol t=-\boldsymbol s$ とすれば等号が成立する。よって最大値は $\boxed4$。