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東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2014年8月実施 専門基礎科目 第1問

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Author​

犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description​

自然数 nn と正の実数 aa に対し、次の積分を考える。ここで ee は自然対数の底である。

In(a)=∫0∞xne−ax2 dx.I_n(a)=\int_0^\infty x^n e^{-ax^2}\,dx.
  1. I1(a)I_1(a) を求めよ。
  2. 次式が成り立つことを示せ。
I0(a)2=∫0∞∫0∞e−a(x2+y2) dx dy=π4a.I_0(a)^2=\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-a(x^2+y^2)}\,dx\,dy=\frac\pi{4a}.
  1. 次の積分を求めよ。問2の関係を用いてもよい。
(1) ∫0∞x2e−ax2 dx,(2) ∫0∞x e−x dx,\text{(1) }\int_0^\infty x^2e^{-ax^2}\,dx,\qquad \text{(2) }\int_0^\infty\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx,
(3) ∫01log⁡e(1/x) dx,(4) ∫−∞∞e−4x2+3x dx.\text{(3) }\int_0^1\sqrt{\log_e(1/x)}\,dx,\qquad \text{(4) }\int_{-\infty}^\infty e^{-4x^2+3x}\,dx.
  1. n≥2n\ge2 に対して In(1)=n−12In−2(1)I_n(1)=\dfrac{n-1}{2}I_{n-2}(1) が成り立つことを示せ。
  2. I2n+1(1)I_{2n+1}(1) を求めよ。問4の関係を用いてもよい。

题目描述​

对自然数 nn 和正实数 aa，定义下式，其中 ee 为自然对数的底：

In(a)=∫0∞xne−ax2 dx.I_n(a)=\int_0^\infty x^n e^{-ax^2}\,dx.
  1. 求 I1(a)I_1(a)。
  2. 证明
I0(a)2=∫0∞∫0∞e−a(x2+y2) dx dy=π4a.I_0(a)^2=\int_0^\infty\int_0^\infty e^{-a(x^2+y^2)}\,dx\,dy=\frac\pi{4a}.
  1. 计算下列积分，可以使用第2问的结果。
(1) ∫0∞x2e−ax2 dx,(2) ∫0∞x e−x dx,\text{(1) }\int_0^\infty x^2e^{-ax^2}\,dx,\qquad \text{(2) }\int_0^\infty\sqrt{x}\,e^{-x}\,dx,
(3) ∫01log⁡e(1/x) dx,(4) ∫−∞∞e−4x2+3x dx.\text{(3) }\int_0^1\sqrt{\log_e(1/x)}\,dx,\qquad \text{(4) }\int_{-\infty}^\infty e^{-4x^2+3x}\,dx.
  1. 证明 n≥2n\ge2 时，In(1)=n−12In−2(1)I_n(1)=\dfrac{n-1}{2}I_{n-2}(1)。
  2. 求 I2n+1(1)I_{2n+1}(1)，可以使用第4问的结果。

Kai​

問1​

I1(a)=[−e−ax22a]0∞=12a.I_1(a)=\left[-\frac{e^{-ax^2}}{2a}\right]_0^\infty=\boxed{\frac1{2a}}.

問2​

x=rcos⁡θx=r\cos\theta, y=rsin⁡θy=r\sin\theta とおくと、ヤコビアンは rr であるから

I0(a)2=∫0∞ ⁣∫0∞e−a(x2+y2) dx dy=∫0π/2 ⁣∫0∞e−ar2r dr dθ=π4a.I_0(a)^2=\int_0^\infty\!\int_0^\infty e^{-a(x^2+y^2)}\,dx\,dy =\int_0^{\pi/2}\!\int_0^\infty e^{-ar^2}r\,dr\,d\theta =\frac\pi{4a}.

I0(a)>0I_0(a)>0 より

I0(a)=π2a.\boxed{I_0(a)=\frac{\sqrt\pi}{2\sqrt a}}.

問3​

(1) 部分積分により

∫0∞x2e−ax2 dx=[−xe−ax22a]0∞+12aI0(a)=π4a3/2.\int_0^\infty x^2e^{-ax^2}\,dx =\left[-\frac{x e^{-ax^2}}{2a}\right]_0^\infty+\frac1{2a}I_0(a) =\boxed{\frac{\sqrt\pi}{4a^{3/2}}}.

(2) x=t2x=t^2 とおくと

∫0∞xe−x dx=2∫0∞t2e−t2 dt=π2.\int_0^\infty\sqrt{x}e^{-x}\,dx=2\int_0^\infty t^2e^{-t^2}\,dt =\boxed{\frac{\sqrt\pi}{2}}.

(3) t=log⁡(1/x)t=\log(1/x) とおくと、x=e−tx=e^{-t} より

∫01log⁡(1/x) dx=∫0∞t e−t dt=π2.\int_0^1\sqrt{\log(1/x)}\,dx=\int_0^\infty\sqrt t\,e^{-t}\,dt =\boxed{\frac{\sqrt\pi}{2}}.

(4) −4x2+3x=−4(x−3/8)2+9/16-4x^2+3x=-4(x-3/8)^2+9/16 より

∫−∞∞e−4x2+3x dx=e9/16∫−∞∞e−4(x−3/8)2 dx=π2e9/16.\int_{-\infty}^\infty e^{-4x^2+3x}\,dx =e^{9/16}\int_{-\infty}^\infty e^{-4(x-3/8)^2}\,dx =\boxed{\frac{\sqrt\pi}{2}e^{9/16}}.

問4​

n≥2n\ge2 に対し、部分積分すると

In(1)=[−12xn−1e−x2]0∞+n−12∫0∞xn−2e−x2 dx=n−12In−2(1).I_n(1)=\left[-\frac12x^{n-1}e^{-x^2}\right]_0^\infty +\frac{n-1}{2}\int_0^\infty x^{n-2}e^{-x^2}\,dx =\boxed{\frac{n-1}{2}I_{n-2}(1)}.

問5​

問4を繰り返し、I1(1)=1/2I_1(1)=1/2 を用いると

I2n+1(1)=nI2n−1(1)=⋯=n!I1(1)=n!2.I_{2n+1}(1)=nI_{2n-1}(1)=\cdots=n!I_1(1)=\boxed{\frac{n!}{2}}.
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