東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2011年8月実施 専門基礎科目 第3問

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

フーリエ変換と逆変換を

$$F(k)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi ikx}\,dx,\qquad f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}F(k)e^{2\pi ikx}\,dk$$

で定義する。$i$ は虚数単位、$e$ は自然対数の底である。

問1

$f(x)=e^{-ax^2}$、$a>0$ とする。

(a) $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)\,dx$ を求めよ。$\int_{-\infty}^{\infty}e^{-x^2}\,dx=\sqrt\pi$ を用いてよい。

(b) $F(k)$ を求めよ。

(c) $\int_{-\infty}^{\infty}f(x)^2\,dx$ と $\int_{-\infty}^{\infty}F(k)^2\,dk$ を求め、両者の関係を述べよ。

問2

以下では $f$ を微分可能な任意の関数とし、$\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2dx=1$ とする。$\bar z$ は複素共役、$|z|=\sqrt{z\bar z}$ である。

(a) $\int_{-\infty}^{\infty}|F(k)|^2dk$ を求めよ。デルタ関数の表示 $\delta(x)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikx}dk$ を用いてよい。

(b) $f'=df/dx$ として、$\int_{-\infty}^{\infty}|f'(x)|^2dx=4\pi^2\int_{-\infty}^{\infty}k^2|F(k)|^2dk$ を証明せよ。上のデルタ関数の表示を用いてよい。

(c) $f$ が $\int_{-\infty}^{\infty}x\frac{d}{dx}|f(x)|^2dx=-1$ を満たすとき、次を証明せよ。

$$\left(\int_{-\infty}^{\infty}x^2|f(x)|^2dx\right) \left(\int_{-\infty}^{\infty}k^2|F(k)|^2dk\right)\ge\frac1{16\pi^2}.$$

必要なら、二乗可積分関数 $g,h$ に対する不等式

$$\left(\int_{-\infty}^{\infty}|g|^2dx\right) \left(\int_{-\infty}^{\infty}|h|^2dx\right) \ge\left|\int_{-\infty}^{\infty}g\bar h\,dx\right|^2$$

を用いてよい。

题目描述

采用傅里叶变换对

$$F(k)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x)e^{-2\pi ikx}dx,\qquad f(x)=\int_{-\infty}^{\infty}F(k)e^{2\pi ikx}dk,$$

其中 $i$ 为虚数单位。

问1 设 $f(x)=e^{-ax^2}$、$a>0$。（a）求 $\int f(x)dx$，可用全实轴高斯积分为 $\sqrt\pi$ 的结论。（b）求 $F(k)$。（c）求全实轴上的 $\int f(x)^2dx$、$\int F(k)^2dk$，并说明关系。

问2 设 $f$ 可微且 $\int_{-\infty}^{\infty}|f(x)|^2dx=1$，$\bar z$ 为共轭、$|z|=\sqrt{z\bar z}$。（a）求 $\int_{-\infty}^{\infty}|F(k)|^2dk$，可用 $\delta(x)=\int_{-\infty}^{\infty}e^{2\pi ikx}dk$。（b）证明 $\int|f'|^2dx=4\pi^2\int k^2|F|^2dk$，可用上述 delta 函数表示。（c）若 $\int x(d|f|^2/dx)dx=-1$，证明

$$\left(\int_{-\infty}^{\infty}x^2|f|^2dx\right) \left(\int_{-\infty}^{\infty}k^2|F|^2dk\right)\ge\frac1{16\pi^2}.$$

允许使用平方可积函数的 Cauchy–Schwarz 不等式 $(\int|g|^2)(\int|h|^2)\ge|\int g\bar h|^2$；未另标积分范围时均为整个实轴。

Kai

問1

(a) $t=\sqrt a\,x$ と置換して $\boxed{\int f(x)dx=\sqrt{\pi/a}}$。

(b) $f'=-2axf$ と部分積分から $F'(k)=-(2\pi^2k/a)F(k)$。$F(0)=\sqrt{\pi/a}$ より

$$\boxed{F(k)=\sqrt{\frac\pi a}\,e^{-\pi^2k^2/a}}.$$

(c) 再びガウス積分を用いると

$$\boxed{\int f(x)^2dx=\sqrt{\frac\pi{2a}} =\int F(k)^2dk}.$$

問2

(a) 与えられたデルタ関数表示を使えば

$$\int|F(k)|^2dk =\iint f(x)\overline{f(y)}\delta(y-x)\,dx\,dy =\int|f(x)|^2dx=\boxed1.$$

(b) 微分のフーリエ変換は $\mathcal F[f'](k)=2\pi ikF(k)$。これに (a) と同じ Parseval の等式を適用して

$$\boxed{\int|f'(x)|^2dx=4\pi^2\int k^2|F(k)|^2dk}.$$

(c) $J=\int xf(x)\overline{f'(x)}dx$ とおく。仮定から $2\operatorname{Re}J=-1$ なので $|J|^2\ge1/4$。Cauchy–Schwarz と (b) より

$$\left(\int x^2|f|^2dx\right)\left(\int k^2|F|^2dk\right) =\frac1{4\pi^2}\left(\int|xf|^2dx\right)\left(\int|f'|^2dx\right) \ge\frac{|J|^2}{4\pi^2}\ge\boxed{\frac1{16\pi^2}}.$$

ここで Parseval の等式は二乗可積分な関数に対して用い、微分公式は $f'$ が二乗可積分な場合に適用する。