東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2011年8月実施 専門基礎科目 第2問

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• Tokyo-University
• Linear-Transformation
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Matrix-Power

Author

犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

$u=(u_1,u_2,u_3)^T$ を三次元実ベクトル、$x=(x_1,x_2)^T,y=(y_1,y_2)^T,z=(z_1,z_2)^T$ を二次元実ベクトルとする。$x=Au,y=Bu,z=Cu$ とし、

$$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}3&4&5\\4&4&2\end{pmatrix},\qquad C=\begin{pmatrix}4&2&-5\\7&2&-14\end{pmatrix}$$

とする。

問1

$x=(2,9)^T,y=(13,2)^T$ のとき、$u$ を求めよ。

問2

任意の $u$ に対して $z=Hy$ を満たす行列 $H$ を求め、その固有値と固有ベクトルを求めよ。

問3

任意の $u$ に対して $z=Gx$ を満たす行列 $G$ が存在しないことを証明せよ。

問4

問2の $H$ を用いて $z_n=H^ny_0$、$z_n=(z_{1n},z_{2n})^T$、$y_0=(y_{10},y_{20})^T$ とする。

(a) $y_{10}=y_{20}$ のとき、$\lim_{n\to\infty}z_n$ を求めよ。

(b) $y_{10}\ne y_{20}$ のとき、$\lim_{n\to\infty}z_{1n}/z_{2n}$ を求めよ。

题目描述

令 $u\in\mathbb R^3$，$x,y,z\in\mathbb R^2$，且 $x=Au,y=Bu,z=Cu$，其中

$$A=\begin{pmatrix}1&1&1\\1&2&3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}3&4&5\\4&4&2\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}4&2&-5\\7&2&-14\end{pmatrix}.$$

问1 若 $x=(2,9)^T,y=(13,2)^T$，求 $u$。

问2 求对任意 $u$ 都满足 $z=Hy$ 的矩阵 $H$，并求其特征值和特征向量。

问3 证明不存在对任意 $u$ 都满足 $z=Gx$ 的矩阵 $G$。

问4 令 $z_n=H^ny_0$，$z_n=(z_{1n},z_{2n})^T$，$y_0=(y_{10},y_{20})^T$。（a）$y_{10}=y_{20}$ 时求 $\lim z_n$。（b）$y_{10}\ne y_{20}$ 时求 $\lim z_{1n}/z_{2n}$。

Kai

問1

$Au=(2,9)^T$ と $Bu=(13,2)^T$ を連立すると $\boxed{u=(-2,1,3)^T}$。代入して四つの式をすべて満たす。

問2

$HB=C$ の各成分を比較して

$$\boxed{H=\begin{pmatrix}-2&5/2\\-5&11/2\end{pmatrix}}.$$

$B$ は階数 $2$ なので、この $H$ は一意である。特性多項式は $(\lambda-1/2)(\lambda-3)$。従って

$$\boxed{\lambda=1/2:\ v=c(1,1)^T},\qquad \boxed{\lambda=3:\ v=c(1,2)^T}\quad(c\ne0).$$

問3

$w=(1,-2,1)^T$ に対し $Aw=0$ だが $Cw=(-5,-11)^T\ne0$。もし $C=GA$ なら $Cw=GAw=0$ となり矛盾する。

問4

固有ベクトルで分解すると

$$y_0=(2y_{10}-y_{20})\binom11+(y_{20}-y_{10})\binom12.$$

従って

$$z_n=(2y_{10}-y_{20})2^{-n}\binom11 +(y_{20}-y_{10})3^n\binom12.$$

(a) 第2項は零なので $\boxed{\lim z_n=(0,0)^T}$。

(b) $y_{20}-y_{10}\ne0$ なので第2項が支配的となり、$\boxed{\lim z_{1n}/z_{2n}=1/2}$。