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東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2011年8月実施 専門基礎科目 第1問

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description​

問1​

f(x)=x−sin⁡xf(x)=x-\sin x とする。実数 x≥0x\ge0 に対して f(x)≥0f(x)\ge0 を証明せよ。

問2​

実数 x≥0x\ge0 に対して、以下の四つの不等式を証明せよ。

1−x22≤cos⁡x,x−x36≤sin⁡x,cos⁡x≤1−x22+x424,sin⁡x≤x−x36+x5120.1-\frac{x^2}{2}\le\cos x,\qquad x-\frac{x^3}{6}\le\sin x,\qquad \cos x\le1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24},\qquad \sin x\le x-\frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}.

問3​

sin⁡(1/10)\sin(1/10) の小数点以下上位 6 桁の値を求めよ。

問4​

cos⁡(π/6)=3/2\cos(\pi/6)=\sqrt3/2 を用いて、次を証明せよ。

2−3≤(π6)2≤6−231+3.2-\sqrt3\le\left(\frac\pi6\right)^2 \le6-2\sqrt3\sqrt{1+\sqrt3}.

题目描述​

问1 令 f(x)=x−sin⁡xf(x)=x-\sin x，证明对所有实数 x≥0x\ge0 都有 f(x)≥0f(x)\ge0。

问2 对 x≥0x\ge0 证明

1−x2/2≤cos⁡x,x−x3/6≤sin⁡x,cos⁡x≤1−x2/2+x4/24,sin⁡x≤x−x3/6+x5/120.1-x^2/2\le\cos x,\quad x-x^3/6\le\sin x,\quad \cos x\le1-x^2/2+x^4/24,\quad \sin x\le x-x^3/6+x^5/120.

问3 求 sin⁡(1/10)\sin(1/10) 小数点后的前六位。

问4 利用 cos⁡(π/6)=3/2\cos(\pi/6)=\sqrt3/2 证明 2−3≤(π/6)2≤6−231+32-\sqrt3\le(\pi/6)^2\le6-2\sqrt3\sqrt{1+\sqrt3}。

Kai​

問1​

f′(x)=1−cos⁡x≥0f'(x)=1-\cos x\ge0、f(0)=0f(0)=0 より f(x)≥0f(x)\ge0。

問2​

問1の不等式を 00 から xx まで積分すると

x22+cos⁡x−1≥0.\frac{x^2}{2}+\cos x-1\ge0.

この左辺を順に積分すれば、それぞれ

x36+sin⁡x−x≥0,\frac{x^3}{6}+\sin x-x\ge0,
x424−cos⁡x+1−x22≥0,\frac{x^4}{24}-\cos x+1-\frac{x^2}{2}\ge0,
x5120−sin⁡x+x−x36≥0.\frac{x^5}{120}-\sin x+x-\frac{x^3}{6}\ge0.

移項により四つの不等式を得る。

問3​

問2に x=1/10x=1/10 を代入すると

0.099833333…=110−16000≤sin⁡110≤110−16000+112000000=0.099833416….0.099833333\ldots=\frac1{10}-\frac1{6000} \le\sin\frac1{10} \le\frac1{10}-\frac1{6000}+\frac1{12000000} =0.099833416\ldots.

従って小数点以下の上位 6 桁は 099833\boxed{099833}、すなわち 0.099833…\boxed{0.099833\ldots}。

問4​

t=(π/6)2t=(\pi/6)^2 とおく。問2の第一式より 3/2≥1−t/2\sqrt3/2\ge1-t/2、従って t≥2−3t\ge2-\sqrt3。第三式より

32≤1−t2+t224⟹(t−6)2≥12(1+3).\frac{\sqrt3}{2}\le1-\frac t2+\frac{t^2}{24} \quad\Longrightarrow\quad(t-6)^2\ge12(1+\sqrt3).

0<t<1<60<t<1<6 なので、6−t≥231+36-t\ge2\sqrt3\sqrt{1+\sqrt3}。両者を合わせれば所望の不等式となる。

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