東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2010年8月実施 専門基礎科目 第4問

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Author

犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

ある道路で、測定開始から最初の自動車が通過するまでの時間を $u$ 秒とする。その確率密度 $p(u)$ は測定開始時刻やそれ以前の通過状況に依存せず、$e^{-\lambda u}$ に比例する。$e$ は自然対数の底、$\lambda>0$ は実定数である。

問1

$p(u)$ と $u$ の期待値 $\bar u$ を求めよ。

問2

測定開始から $t$ 秒間に通過した台数を $A(t)$ とする。任意の $t>0$ に対し $\Pr[A(t)=0]$ を求めよ。

問3

$n$ 台目が通過するまでの時間を $x$ とし、その確率密度を $p_n(x)$ とする。

(1) $p_2(x),p_3(x)$ を求めよ。

(2) 任意の整数 $n\ge1$ に対し $p_n(x)$ を求めよ。

問4

任意の $t>0$ に対し $\Pr[A(t)=n]$ を求めよ。

题目描述

某道路从开始测量到第一辆汽车通过的时间为 $u$ 秒，密度 $p(u)$ 不依赖开始测量的时刻或此前车辆通过情况，并正比于 $e^{-\lambda u}$，其中 $\lambda>0$。

问1 求 $p(u)$ 和 $E[u]$。

问2 用 $A(t)$ 表示开始后 $t$ 秒内通过的车辆数，对 $t>0$ 求 $\Pr[A(t)=0]$。

问3 第 $n$ 辆车通过的时刻为 $x$，其密度为 $p_n(x)$。（1）求 $p_2,p_3$。（2）求任意整数 $n\ge1$ 时的 $p_n$。

问4 对任意 $t>0$ 求 $\Pr[A(t)=n]$。

Kai

問1

$\int_0^\infty ce^{-\lambda u}\,du=c/\lambda=1$ より

$$\boxed{p(u)=\lambda e^{-\lambda u}\ (u\ge0)},\qquad \boxed{E[u]=\int_0^\infty u\lambda e^{-\lambda u}\,du=1/\lambda}.$$

密度は $u<0$ で零である。

問2

$A(t)=0$ は最初の待ち時間が $t$ より長いことと同値なので、$\boxed{\Pr[A(t)=0]=e^{-\lambda t}}$。

問3

過去の通過状況に依存しないという条件から、連続する待ち時間は独立で同じ密度を持つ。

(1) 畳み込みより、$x\ge0$ に対し

$$p_2(x)=\int_0^x\lambda e^{-\lambda s}\lambda e^{-\lambda(x-s)}ds =\boxed{\lambda^2xe^{-\lambda x}},$$

$$p_3(x)=\int_0^x p_2(s)\lambda e^{-\lambda(x-s)}ds =\boxed{\frac{\lambda^3x^2}{2}e^{-\lambda x}}.$$

(2) 同様に $p_{n+1}=p_n*p_1$ を用いて帰納的に

$$\boxed{p_n(x)=\frac{\lambda^nx^{n-1}}{(n-1)!}e^{-\lambda x}\quad(x\ge0)}.$$

いずれも $x<0$ で零である。

問4

$n\ge1$ では、$n$ 台目が時刻 $x\le t$ に通過し、次の待ち時間が $t-x$ を超える確率を積分して

$$\Pr[A(t)=n]=\int_0^t p_n(x)e^{-\lambda(t-x)}dx =\frac{\lambda^ne^{-\lambda t}}{(n-1)!}\int_0^t x^{n-1}dx =\boxed{e^{-\lambda t}\frac{(\lambda t)^n}{n!}}.$$

問2より $n=0$ にも同じ式が成り立つ。