東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2010年8月実施 専門基礎科目 第3問

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

フーリエ変換を $X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i\omega t}\,dt$ と定義する。$e$ は自然対数の底、$i$ は虚数単位である。$a,b>0$ とし、下図の関数を

$$x_a(t)=\begin{cases}1/a&|t|\le a,\\0&|t|>a,\end{cases}\qquad y_b(t)=\begin{cases}t/b^2+1/b&-b\le t\le0,\\-t/b^2+1/b&0<t\le b,\\0&|t|>b\end{cases}$$

とし、$z_{ab}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x_a(\tau)y_b(t-\tau)\,d\tau$ とする。

問1

$x_a,y_b$ のフーリエ変換 $X_a,Y_b$ を求め、$X_0(\omega)=\lim_{a\to0}X_a(\omega)$ と $Y_0(\omega)=\lim_{b\to0}Y_b(\omega)$ を求めよ。

問2

$y_b(t-\tau)$ の $t$ に関するフーリエ変換 $Y_{\tau b}(\omega)$ を求めよ。

問3

$z_{ab}$ が偶関数であることを示し、$a=b=1$ のときの $z_{11}$ の概形を図示せよ。

問4

$z_{ab}$ のフーリエ変換 $Z_{ab}$ を求めよ。

题目描述

定义傅里叶变换 $X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i\omega t}\,dt$，其中 $i$ 为虚数单位。对 $a,b>0$，令

$$x_a(t)=\begin{cases}1/a&|t|\le a,\\0&|t|>a,\end{cases}\qquad y_b(t)=\begin{cases}t/b^2+1/b&-b\le t\le0,\\-t/b^2+1/b&0<t\le b,\\0&|t|>b.\end{cases}$$

两者图形如上，并定义卷积 $z_{ab}(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x_a(\tau)y_b(t-\tau)\,d\tau$。

问1 求 $X_a,Y_b$，并求 $X_0(\omega)=\lim_{a\to0}X_a(\omega)$、$Y_0(\omega)=\lim_{b\to0}Y_b(\omega)$。

问2 求 $y_b(t-\tau)$ 关于 $t$ 的傅里叶变换 $Y_{\tau b}(\omega)$。

问3 证明 $z_{ab}$ 是偶函数，并画出 $a=b=1$ 时 $z_{11}$ 的概形。

问4 求 $z_{ab}$ 的傅里叶变换 $Z_{ab}$。

Kai

問1

直接積分して

$$\boxed{X_a(\omega)=\frac{2\sin(a\omega)}{a\omega}},\qquad \boxed{Y_b(\omega)=\frac{2(1-\cos b\omega)}{b^2\omega^2} =\left(\frac{\sin(b\omega/2)}{b\omega/2}\right)^2}.$$

第2式は $Y_b=2\int_0^b(1/b-t/b^2)\cos(\omega t)\,dt$ から得られる。$\omega=0$ では連続延長して $X_a(0)=2,Y_b(0)=1$。従って $\boxed{X_0(\omega)=2,\ Y_0(\omega)=1}$。

問2

$s=t-\tau$ と置換すると $\boxed{Y_{\tau b}(\omega)=e^{-i\omega\tau}Y_b(\omega)}$。

問3

$x_a,y_b$ の偶性と $\tau\mapsto-\tau$ により

$$z_{ab}(-t)=\int_{-\infty}^{\infty}x_a(\tau)y_b(-t-\tau)\,d\tau =\int_{-\infty}^{\infty}x_a(\tau)y_b(t-\tau)\,d\tau=z_{ab}(t).$$

$a=b=1$ では $z_{11}(t)=\int_{t-1}^{t+1}(1-|s|)_+\,ds$ だから

$$\boxed{z_{11}(t)=\begin{cases}1-t^2/2&|t|\le1,\\(2-|t|)^2/2&1<|t|\le2,\\0&|t|>2.\end{cases}}$$

上図右のように、$(0,1)$、$(\pm1,1/2)$、$(\pm2,0)$ を通る偶関数となる。

問4

畳み込み定理より

$$\boxed{Z_{ab}(\omega)=X_a(\omega)Y_b(\omega) =\frac{8\sin(a\omega)\sin^2(b\omega/2)}{ab^2\omega^3}},\qquad Z_{ab}(0)=2.$$