東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2010年8月実施 専門基礎科目 第2問

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

実行列

$$A=\begin{pmatrix}1&b&b\\1-a&a&a-1\\0&b&b+1\end{pmatrix}$$

について、以下に答えよ。

問1

ある正則行列 $P$ に対して $P^{-1}AP$ が対角行列となるとき、$A$ は対角化可能という。

(1) $A$ の固有値を求めよ。

(2) $a=4,b=2$ のとき、$A$ が対角化可能か判定せよ。

(3) $a=3,b=2$ のとき、$A$ が対角化可能か判定せよ。

問2

$A$ が対角化できないときの $(a,b)$ の存在範囲を座標系に図示せよ。

問3

$A$ が対角化できないとき、ある正則行列 $Q$ を用いて

$$Q^{-1}AQ=D+U,\qquad U=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}$$

と変換できる。ただし $D$ は対角行列である。

(1) $Q,D$ をそれぞれ $a$ を用いて表せ。

(2) 正の整数 $n$ に対して $(D+U)^n$ を求めよ。

問4

$A$ が対角化できないとき、$A^n$ が収束するための $a$ の条件を求めよ。ここで収束とは、すべての成分 $(A^n)_{ij}$ が $n\to\infty$ で有限の極限を持つことをいう。

题目描述

设实矩阵

$$A=\begin{pmatrix}1&b&b\\1-a&a&a-1\\0&b&b+1\end{pmatrix}.$$

问1 若存在可逆矩阵 $P$ 使 $P^{-1}AP$ 为对角矩阵，则称 $A$ 可对角化。（1）求 $A$ 的特征值。（2）判断 $a=4,b=2$ 时是否可对角化。（3）判断 $a=3,b=2$ 时是否可对角化。

问2 在 $(a,b)$ 平面画出 $A$ 不可对角化的参数范围。

问3 在不可对角化时，存在可逆矩阵 $Q$ 及对角矩阵 $D$，使

$$Q^{-1}AQ=D+U,\qquad U=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}.$$

（1）用 $a$ 表示一组 $Q,D$。（2）对正整数 $n$ 求 $(D+U)^n$。

问4 在不可对角化的前提下，求 $A^n$ 每个元素均收敛于有限值的参数 $a$ 的条件。

Kai

問1

(1) $\det(\lambda I-A)=(\lambda-1)(\lambda-a)(\lambda-b-1)$ より、固有値は $\boxed{1,a,b+1}$。

(2) 固有値 $1,4,3$ は相異なるので対角化可能。

(3) 固有値 $3$ は代数的重複度 $2$ だが、$\ker(A-3I)=\operatorname{span}\{(1,0,1)^T\}$ は 1 次元。従って対角化できない。

問2

固有値が重複する場合だけを調べればよい。

• $a=1,b\ne0$ では $\operatorname{rank}(A-I)=1$ なので、重複固有値 $1$ の固有空間は 2 次元。
• $b=0,a\ne1$ でも $\operatorname{rank}(A-I)=1$。
• $a=b+1\ne1$ では $\operatorname{rank}(A-aI)=2$ なので、重複固有値 $a$ の固有空間は 1 次元。
• $(a,b)=(1,0)$ では $A=I$。

従って不可対角化の範囲は $\boxed{b=a-1,\ a\ne1}$、すなわち直線から点 $(1,0)$ を除いた集合である。

問3

(1) $b=a-1\ne0$ である。$v_0=(0,-1,1)^T$、$v_1=(1,0,1)^T$、$v_2=(0,1/(a-1),0)^T$ とおくと

$$Av_0=v_0,\quad Av_1=av_1,\quad Av_2=av_2+v_1.$$

よって一例は

$$\boxed{Q=\begin{pmatrix}0&1&0\\-1&0&1/(a-1)\\1&1&0\end{pmatrix}},\qquad \boxed{D=\operatorname{diag}(1,a,a)}.$$

$\det Q=1/(a-1)\ne0$ であり、確かに $AQ=Q(D+U)$。

(2) $DU=UD$、$U^2=0$ より

$$\boxed{(D+U)^n=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&a^n&na^{n-1}\\0&0&a^n\end{pmatrix}}.$$

$a=0,n=1$ の右上ブロック成分は $1$ と解釈する。

問4

$A^n=Q(D+U)^nQ^{-1}$ より、$a^n$ と $na^{n-1}$ の収束が必要十分。$|a|<1$ ならば両者は零へ収束する。$|a|>1$ は発散し、$a=-1$ は振動する。$a=1$ は不可対角化の条件から除外されている。従って $\boxed{-1<a<1}$。