東京大学 新領域創成科学研究科 複雑理工学専攻 2010年8月実施 専門基礎科目 第1問

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犬 (finalized by 祭音Myyura with assistance from GPT 6 Astra)

Description

実関数 $f(x,y)$ を

$$f(x,y)=\exp\left(-\frac{x^2+y^2-2Rxy}{2(1-R^2)}\right)$$

で定義する。ここで $\exp(t)=e^t$、$e$ は自然対数の底である。以下に答えよ。

問1

$R=0$ とする。

(1) $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$（$0\le r<\infty,0\le\theta<2\pi$）と変数変換する際のヤコビアンを求めよ。

(2) (1) を用いて $\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dx\,dy$ を求めよ。

(3) (2) を用いて、$a>0$ に対し $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\,dx=\sqrt{\pi/a}$ を示せ。

問2

$-1<R<1$ とし、$g(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dy$ とする。

(1) $g(x)$ を求めよ。また、任意の $x_0$ に対して $\int_{-\infty}^{\infty}xg(x-x_0)\,dx$ を求めよ。

(2) $\int_{-\infty}^{\infty}x^2g(x)\,dx$ および $\int_{-\infty}^{\infty}x^4g(x)\,dx$ を求めよ。

問3

$-1<R<1$ とするとき、$\int_0^\infty\int_0^\infty yf(x,y)\,dx\,dy$ を求めよ。

問2、問3では、必要なら問1(3) の結果を用いてよい。

题目描述

定义 $f(x,y)=\exp[-(x^2+y^2-2Rxy)/\{2(1-R^2)\}]$，其中 $e$ 为自然对数的底。

问1 令 $R=0$。（1）用 $x=r\cos\theta,y=r\sin\theta$、$0\le r<\infty,0\le\theta<2\pi$ 换元，求雅可比行列式。（2）利用该变换计算 $\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dx\,dy$。（3）利用（2）证明对 $a>0$ 有 $\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\,dx=\sqrt{\pi/a}$。

问2 令 $-1<R<1$，$g(x)=\int_{-\infty}^{\infty}f(x,y)\,dy$。（1）求 $g(x)$，并对任意 $x_0$ 求 $\int_{-\infty}^{\infty}xg(x-x_0)\,dx$。（2）求 $\int_{-\infty}^{\infty}x^2g(x)\,dx$ 和 $\int_{-\infty}^{\infty}x^4g(x)\,dx$。

问3 对 $-1<R<1$，求 $\int_0^\infty\int_0^\infty yf(x,y)\,dx\,dy$。

问2、问3允许使用问1（3）的结果。

Kai

問1

(1)

$$\frac{\partial(x,y)}{\partial(r,\theta)} =\det\begin{pmatrix}\cos\theta&-r\sin\theta\\\sin\theta&r\cos\theta\end{pmatrix} =\boxed r.$$

(2) 極座標により $\int_0^{2\pi}d\theta\int_0^\infty re^{-r^2/2}\,dr=\boxed{2\pi}$。

(3) $I=\int_{-\infty}^{\infty}e^{-ax^2}\,dx>0$ とおく。$u=\sqrt{2a}\,x,\ v=\sqrt{2a}\,y$ と変数変換し、(2) を用いると

$$I^2=\frac1{2a}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-(u^2+v^2)/2}\,du\,dv =\frac{2\pi}{2a}=\frac\pi a.$$

よって $\boxed{I=\sqrt{\pi/a}}$。

問2

(1) $x^2+y^2-2Rxy=(y-Rx)^2+(1-R^2)x^2$ と平方完成すると、

$$\boxed{g(x)=C e^{-x^2/2}},\qquad C=\sqrt{2\pi(1-R^2)}.$$

$u=x-x_0$ とおき、奇関数の積分が零であることを使うと

$$\int_{-\infty}^{\infty}xg(x-x_0)\,dx =C\int_{-\infty}^{\infty}(u+x_0)e^{-u^2/2}\,du =\boxed{2\pi x_0\sqrt{1-R^2}}.$$

(2) $J_n=\int_{-\infty}^{\infty}x^ne^{-x^2/2}\,dx$ とおくと、部分積分より $J_n=(n-1)J_{n-2}$（$n\ge2$ は偶数）、$J_0=\sqrt{2\pi}$。従って

$$\boxed{\int_{-\infty}^{\infty}x^2g(x)\,dx=2\pi\sqrt{1-R^2}},\qquad \boxed{\int_{-\infty}^{\infty}x^4g(x)\,dx=6\pi\sqrt{1-R^2}}.$$

問3

求める積分を $I$ とする。$f(x,y)=f(y,x)$ より $\int_0^\infty\int_0^\infty xf\,dx\,dy=I$。また $f_x=(Ry-x)f/(1-R^2)$ だから

$$\int_0^\infty\int_0^\infty f_x\,dx\,dy =\frac{R-1}{1-R^2}I=-\frac{I}{1+R}.$$

一方、$x$ について積分すれば左辺は

$$-\int_0^\infty f(0,y)\,dy =-\int_0^\infty e^{-y^2/[2(1-R^2)]}\,dy =-\frac12\sqrt{2\pi(1-R^2)}.$$

従って $\boxed{I=\frac{1+R}{2}\sqrt{2\pi(1-R^2)}}$。