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東京大学 新領域創成科学研究科 メディカル情報生命専攻 2026年1月実施 問題8

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Author​

祭音Myyura

Description​

G=(V,E)G = (V, E) を点集合 VV、辺集合 EE の単純連結無向グラフとする。VV の要素数を nn とする。VV を 2 分割したもの C=(S,T)C=(S,T) を GG のカットと呼ぶ。

ここで SS と TT は S⊂VS \subset V, T⊂VT \subset V, S≠∅S \neq \varnothing, T≠∅T \neq \varnothing, S∩T=∅S \cap T = \emptyset,S∪T=VS \cup T=V を満たし、SS と TT を入れ替えたペア (S,T)(S, T)、(T,S)(T,S) は区別しないものとする。カット CC のカットサイズを SS と TT をまたぐ辺の個数として定義する。また、カットサイズ ss をもつカットの個数を ss の重複度 m(s)m(s) と定義する。以下の問に導出も含めて答えよ。

(1) 以下のグラフ G0G_0 について、全ての可能なカットサイズ ss とその重複度 m(s)m(s) を求めよ。

(2) GG が完全グラフ、すなわち V={1,…,n},E={(i,j)∣i,j=1,…,n,i<j}V=\{1, \ldots, n\}, E =\{(i,j) \mid i,j = 1,\ldots,n,i <j \} のとき、可能なカットサイ ズ ss とその重複度 m(s)m(s) を全て求めよ。

(3) GG が環状グラフ、すなわち V={1,…,n},E={(i,i+1)∣i=1,…,n−1}∪{(n,1)}V=\{1, \ldots ,n\}, E =\{(i,i+1) \mid i =1,\ldots,n−1\} \cup \{(n,1)\} のとき、カットサイズの最小値 smin⁡s_{\min} とその重複度 m(smin)m(s_\text{min}) を求めよ。

(4) GG の最小カットサイズ smin⁡s_{\min} をもつカットの一つを Cmin=(Smin⁡,Tmin⁡)C_\text{min} = (S_{\min}, T_{\min}) とする。このとき EE の中で、Smin⁡S_{\min} と Tmin⁡T_{\min} をまたぐ辺の割合は 2/n2/n 以下であることを示せ。必要であれば、性質 ∣E∣=∑v∈Vdeg(v)/2|E|= \sum_{v \in V} \text{deg}(v)/2 を用いてもよい。ただし、∣E∣|E| は EE の要素数、deg(v)\text{deg}(v) は点 vv に接続する辺の数を表す。

题目描述​

设 G=(V,E)G=(V,E) 为含 n=∣V∣n=|V| 个顶点的简单连通无向图。把 VV 划分为

C=(S,T),C=(S,T),

其中

S,T⊂V,S,T≠∅,S∩T=∅,S∪T=V,S,T\subset V,\quad S,T\ne\varnothing,\quad S\cap T=\varnothing,\quad S\cup T=V,

称为一个割；(S,T)(S,T) 与 (T,S)(T,S) 不作区分。割大小是跨越 S,TS,T 的边数，大小为 ss 的割的数量记为重数 m(s)m(s)。要求给出推导并回答：

  1. 对上图 G0G_0，其边集为

    {1 ⁣− ⁣3,1 ⁣− ⁣4,3 ⁣− ⁣4,3 ⁣− ⁣2,4 ⁣− ⁣2},\{1\!-\!3,1\!-\!4,3\!-\!4,3\!-\!2,4\!-\!2\},

    求全部可能割大小 ss 及各自重数 m(s)m(s)。

  2. 当 GG 为完全图

    V={1,…,n},E={(i,j)∣1≤i<j≤n},V=\{1,\ldots,n\},\qquad E=\{(i,j)\mid1\le i<j\le n\},

    求全部可能的 ss 与 m(s)m(s)；计数时须处理 S,TS,T 交换不区分以及等分割的重复。

  3. 当 GG 为环图

    E={(i,i+1)∣i=1,…,n−1}∪{(n,1)},E=\{(i,i+1)\mid i=1,\ldots,n-1\}\cup\{(n,1)\},

    求最小割大小 smin⁡s_{\min} 及其重数 m(smin⁡)m(s_{\min})。

  4. 取一个最小割

    Cmin⁡=(Smin⁡,Tmin⁡),C_{\min}=(S_{\min},T_{\min}),

    证明跨越该割的边占全部 EE 的比例不超过 2/n2/n。必要时可用

    ∣E∣=12∑v∈Vdeg⁡(v).|E|=\frac12\sum_{v\in V}\deg(v).

Kai​

(1)​

∣S∣=1,∣T∣=3|S|=1, |T|=3 の場合（4通り）

  • S={1},T={2,3,4}S=\{1\}, T=\{2,3,4\} : カットされる辺は (1,3),(1,4)(1,3), (1,4)。s=2s = 2
  • S={2},T={1,3,4}S=\{2\}, T=\{1,3,4\} : カットされる辺は (2,3),(2,4)(2,3), (2,4)。s=2s = 2
  • S={3},T={1,2,4}S=\{3\}, T=\{1,2,4\} : カットされる辺は (3,1),(3,2),(3,4)(3,1), (3,2), (3,4)。s=3s = 3
  • S={4},T={1,2,3}S=\{4\}, T=\{1,2,3\} : カットされる辺は (4,1),(4,2),(4,3)(4,1), (4,2), (4,3)。s=3s = 3

∣S∣=2,∣T∣=2|S|=2, |T|=2 の場合（3通り）

  • S={1,2},T={3,4}S=\{1,2\}, T=\{3,4\} : カットされる辺は (1,3),(1,4),(2,3),(2,4)(1,3), (1,4), (2,3), (2,4)。s=4s = 4
  • S={1,3},T={2,4}S=\{1,3\}, T=\{2,4\} : カットされる辺は (1,4),(3,2),(3,4)(1,4), (3,2), (3,4)。s=3s = 3
  • S={1,4},T={2,3}S=\{1,4\}, T=\{2,3\} : カットされる辺は (1,3),(4,2),(4,3)(1,3), (4,2), (4,3)。s=3s = 3

以上の結果から、可能なカットサイズ ss とその重複度 m(s)m(s) は以下のようになります。

  • s=2s = 2 のとき、m(2)=2m(2) = 2
  • s=3s = 3 のとき、m(3)=4m(3) = 4
  • s=4s = 4 のとき、m(4)=1m(4) = 1

(2)​

GG が完全グラフの場合、任意の2頂点間に辺が存在します。 カット C=(S,T)C = (S, T) において、SS の要素数を kk（ただし 1≤k≤n−11 \le k \le n-1）、TT の要素数を n−kn-k とします。

SS に属する kk 個の頂点のそれぞれは、TT に属する n−kn-k 個の頂点すべてと辺で結ばれているため、カットサイズ ss は kk にのみ依存し、次のように表されます。

s=k(n−k)s = k(n-k)

ここで、(S,T)(S, T) と (T,S)(T, S) の区別はないため、kk の範囲を 1≤k≤⌊n/2⌋1 \le k \le \lfloor n/2 \rfloor に限定してすべてのカットを網羅できます。

重複度 m(s)m(s) は、nn 個の頂点から要素数 kk の集合 SS を選ぶ組み合わせの数に基づきます。

k<n/2k < n/2 の場合:

SS を選ぶごとに一意のカットが定まるため、組み合わせの数がそのまま重複度になります。

m(k(n−k))=(nk)m(k(n-k)) = \binom{n}{k}

k=n/2k = n/2 の場合（nn が偶数のときのみ存在）:

SS を選ぶ操作において、ある集合を選んだ場合と、その補集合を選んだ場合とで同じカットを2回数え上げてしまうため、1/21/2 倍する必要があります。

m(k(n−k))=12(nn/2)m(k(n-k)) = \frac{1}{2} \binom{n}{n/2}

(3)​

以下では通常の単純環として n≥3n\ge3 とする（定義を文字通り n=2n=2 に適用する場合は1本の辺だけなので、smin⁡=1, m(1)=1s_{\min}=1,\ m(1)=1 である）。

頂点集合を SS と TT に分割したとき、グラフの輪をたどると、SS の頂点から TT の頂点へ移動する回数と、TT の頂点から SS の頂点へ戻る回数は必ず等しくなります。したがって、環状グラフにおける任意のカットサイズは必ず 偶数 になります。

S≠∅,T≠∅S \neq \emptyset, T \neq \emptyset であり、グラフは連結しているためカットサイズが 00 になることはありません。よって、正の偶数の最小値である smin⁡=2s_{\min} = 2 が最小カットサイズとなります。

カットサイズが 22 になるということは、環状グラフを構成する nn 本の辺の中から、切断する2本の辺を選ぶことと同義です。どの2本を選んでもグラフは2つの部分集合に分割されるため、重複度は nn 本の辺から2本を選ぶ組み合わせの数になります。

m(smin⁡)=(n2)=n(n−1)2m(s_{\min}) = \binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}

(4)​

カットが存在する n≥2n\ge 2 を考える。グラフ GG の各頂点 v∈Vv\in V に対して、その頂点 1 つだけを片側に取るカット

Cv=({v},V∖{v})C_v=(\{v\},V\setminus\{v\})

を考える。このカットのカットサイズは、頂点 vv に接続している辺の本数に等しいので、

∣Cv∣=deg⁡(v)|C_v|=\deg(v)

である。最小カットサイズ smin⁡s_{\min} は、すべてのカットサイズの中での最小値であるから、任意の頂点 v∈Vv\in V に対して

smin⁡≤deg⁡(v)s_{\min}\le \deg(v)

が成り立つ。この不等式をすべての頂点 v∈Vv\in V について足し合わせると、

∑v∈Vsmin⁡≤∑v∈Vdeg⁡(v)\sum_{v\in V}s_{\min}\le \sum_{v\in V}\deg(v)

となる。左辺は smin⁡s_{\min} を nn 回足したものなので、

nsmin⁡≤∑v∈Vdeg⁡(v)n s_{\min}\le \sum_{v\in V}\deg(v)

である。また、握手補題より

∑v∈Vdeg⁡(v)=2∣E∣\sum_{v\in V}\deg(v)=2|E|

であるから、

nsmin⁡≤2∣E∣n s_{\min}\le 2|E|

を得る。両辺を n∣E∣n|E| で割ると、

smin⁡∣E∣≤2n\frac{s_{\min}}{|E|}\le \frac{2}{n}

となる。ここで、最小カット Cmin⁡=(Smin⁡,Tmin⁡)C_{\min}=(S_{\min},T_{\min}) のカットサイズは smin⁡s_{\min} であるため、Smin⁡S_{\min} と Tmin⁡T_{\min} をまたぐ辺の割合は

smin⁡∣E∣\frac{s_{\min}}{|E|}

である。したがって、この割合は 2/n2/n 以下であることが示された。

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