東京大学 新領域創成科学研究科 メディカル情報生命専攻 2026年1月実施 問題7

Author

KardeniaPoyu

Description

以下の問いに答えよ。

(1) 行列 の固有値を求めよ。

(2) 行列 の固有空間の基底を求めよ。

(3) が対角行列になるような直交行列 を求めよ。

(4) を三次元実ベクトルとする。 の最小値を与える最適解的集合は、三次元空間における直線になっている。この直線を表す方程式を示せ。

(5) 実数の成分からなる対称正方行列に対して、すべての固有値が異なるならば、すべての固有ベクトルは相互に直交することを証明せよ。

Kai

(1)

行列 の固有方程式 を解く。

各列を第1列に加えると、

第2行および第3行から第1行を引くと、

ゆえに、行列 の固有値は （ は2重根） である。

---

（別解：サラスの公式による展開）

(2)

固有値 に属する固有空間 は、方程式 の解空間である。

① のとき

行基本変形により かつ を得る。すなわち 。 したがって、 の基底は以下の通りとなる。

② のとき

これは と同値である。 とおくと となる。 したがって、 の基底は以下の通りとなる。

(3)

実対称行列は直交行列によって対角化可能である。各固有空間における正規直交基底を構成する。

• の正規直交基底: を正規化すると、

  となる。

• の正規直交基底: とし、グラム・シュミットの直交化法を用いる。 まず を正規化すると、

  となる。次に の に対する直交成分 を求めると、

  これを正規化すると、

  を得る。

以上より、求める直交行列 は以下の通りである。

(4)

直交行列 を用いて （）と変数変換を行うと、二次形式 は以下のように対角化される。

は実数であるため、 が成り立つ。 したがって、 の最小値は であり、条件は である。このとき、

これは固有空間 に属する任意のベクトルを表す。よって、最適解の集合がなす直線の方程式は である。

English:

By applying the orthogonal transformation using the matrix from (3), the quadratic form is diagonalized as:

Since , holds. The minimum value is achieved when , which implies is any multiple of the eigenvector :

Thus, the set of optimal solutions is the line .

(5)

実対称行列 () の相異なる固有値を 、対応する固有ベクトルを とする。

式 の両辺を転置すると、 となる。 より、

この両辺に右から を掛けると、

一方、式 の左辺に式 を代入すると、

式 と より、

より であるから、

が成り立つ。これは と が直交することを意味する。（証明終）

English:

Let be distinct eigenvalues of a real symmetric matrix , with eigenvectors .

Taking the transpose of (i) and using , we have . Multiplying by from the right yields:

Simultaneously, from (ii), we have:

From (iii) and (iv), it follows that:

Since , we must have:

proving orthogonality. (Q.E.D.)