東京大学 新領域創成科学研究科 メディカル情報生命専攻 2025年1月実施 問題7

Author

KardeniaPoyu

Description

長さ の 次元実縦ベクトル () に対し、 実行列 を と定義する。ここで、 は 単位行列、 は の転置を表す。以下の問に数学的導出も含め答えよ。

(1) 任意のベクトル に対し、 と置くとき、ベクトル はある実数 を用いて と書けることを示せ。

(2) と の長さは等しい () ことを示せ。

(3) ベクトル が つ与えられているとする。 がある実数 を用いて の形になるような を全て求めよ。

(4) ベクトル が つ与えられているとする。 がある実数 を用いて の形になるような を全て求めよ。

(5) とする。 がある実数 を用いて の形になるような、長さ のベクトルの組 を つ求めよ。またこのときの を答えよ。

Kai

(1)

定義より、 である。 これを移項すると、

となる。ここで、 はベクトルの内積であり、実数のスカラー値である。 したがって、 とおけば、

と書けることが示された。

English:

By definition, . Rearranging this equation yields:

Here, is the inner product of two vectors, which evaluates to a real scalar. Therefore, by letting , we can express this as:

This completes the proof.

(2)

を計算する。 まず、 の転置は であり、 は対称行列である。 次に、 を計算すると、

仮定より 、すなわち であるため、

となり、 は直交行列であることがわかる。 ゆえに、 となる。 ノルムは非負であるため、 が示された。

English:

Calculate . First, note that , meaning is a symmetric matrix. Next, we calculate :

By assumption, , which means . Thus:

This shows is an orthogonal matrix. Therefore, . Since norms are non-negative, it follows that .

(3)

(2) より であるため、 ならば 、すなわち である。 (1) より であり、 は長さ 1 のベクトルであるため、 のとき、 は と平行な単位ベクトルとなる。すなわち、 である。 以下の3つの場合に分けて求める。

(i) の場合： となるため、公式に代入して、

(ii) の場合：

• のとき、 となる。このとき 。ゆえに を満たす任意の単位ベクトル （ただし ）。
• のとき、 となるため、。

(iii) の場合： となり、。 は常に成り立つため、任意の単位ベクトル が解となる。

English:

From (2), . If , then , which implies . From (1), . Since is a unit vector, when , must be a unit vector parallel to . Thus, . We find all solutions by considering three cases:

(i) If : Here, . Substituting , we get:

(ii) If for :

• For , we have . This gives . Hence, any unit vector with is a solution: (where ).
• For , we have . Hence, .

(iii) If : Here and . Since holds trivially, any unit vector is a solution.

(4)

とする。(1) より、

である。これにより、 の第1成分は でなければならない。 また より、 となるため、 である。

(i) の場合（すなわち または ）： は を正規化したものになるため、

（ただし ）。

(ii) の場合（すなわち かつ ）： となる。(3) と同様に 。 これと を満たす任意の単位ベクトル が解となる。

English:

Let . From (1), we have:

This implies that the first component of must be . Additionally, from , we get , which gives .

(i) If (i.e., or ): is obtained by normalizing :

(where ).

(ii) If (i.e., and ): Here . Similar to (3), . Any unit vector satisfying this equation and is a solution.

(5)

この問題は、ハウスホルダー変換を用いて行列 の QR分解を行うプロセスに相当する。

ステップ1：行列 の第1列目を変換する を求める の第1列 を、(3) の結果を利用して の形に変換する。 より と選ぶと、 となる。 公式より、

このとき、 を計算すると以下のようになる（これは1行目と3行目を入れ替える置換行列となる）。

ステップ2： の第2列目を変換する を求める の第2列 を、第1成分を変えずに の形に変換する。これは (4) に対応する。 とし、 と選ぶと となる。 公式より、

このとき、 を計算すると以下のようになる（これは2行目と3行目を入れ替える置換行列となる）。

最後に を計算する。

これは指定された上三角行列の形を満たしている。

解答：

English:

This problem corresponds to the process of QR decomposition of matrix using Householder transformations.

Step 1: Find to transform the first column of We transform the first column of , , into the form using the method from (3). Since , we can choose , giving . Using the formula:

Calculating , we get a permutation matrix that swaps the 1st and 3rd rows:

Step 2: Find to transform the second column of Next, we transform the second column of , which is , into without changing the first component, using the method from (4). Here . Choosing gives . Using the formula:

Calculating , we get another permutation matrix that swaps the 2nd and 3rd rows:

Finally, we calculate :

This is exactly in the desired upper triangular form.

Final Answer: