東京大学 新領域創成科学研究科 メディカル情報生命専攻 2024年1月実施 問題8

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• Tokyo-University
• Singular-Value-Decomposition
• Linear-Transformation
• Moore-Penrose-Pseudoinverse
• Orthogonal-Decomposition

Author

zephyr, 祭音Myyura

Description

Suppose that the eigenvalues and the corresponding eigenvectors of an $n \times n$ square matrix $\mathbf{A}$ are $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ and $\mathbf{\alpha}_1, \dots, \mathbf{\alpha}_n$ respectively.

Suppose that $\mathbf{I}_n$ is the $n \times n$ identity matrix, and the inverse matrix of an invertible matrix $\mathbf{C}$ is $\mathbf{C}^{-1}$.

Answer the following questions.

1. Show all the eigenvalues and the corresponding eigenvectors of $\mathbf{A}^2$.

2. If $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ are mutually different, show that $\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P}$ is a diagonal matrix, using $\mathbf{P} = (\mathbf{\alpha}_1, \dots, \mathbf{\alpha}_n)$ that is a matrix of concatenated eigenvectors.

3. Show all the eigenvalues and the corresponding eigenvectors of $\mathbf{B}$.

$$\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

4. Suppose that $\mu$ is the maximum eigenvalue of $\mathbf{B}$, and $\mathbf{\gamma} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$. Calculate $\mathbf{\delta} = (\mathbf{B} - \mu \mathbf{I}_3)\mathbf{\gamma}$.

5. Suppose that $\beta$ is the eigenvector of $\mathbf{B}$ corresponding to the minimum eigenvalue. Calculate $\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{Q}$ using $\mathbf{Q} = (\mathbf{\delta}, \mathbf{\gamma}, \beta)$ that is a matrix concatenating $\mathbf{\delta}, \mathbf{\gamma}, \beta$.

6. Suppose that $m$ is an arbitrary positive integer. Calculate $\mathbf{B}^m$.

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假设 $n \times n$ 方阵 $\mathbf{A}$ 的特征值及相应的特征向量分别为 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ 和 $\mathbf{\alpha}_1, \dots, \mathbf{\alpha}_n$。

假设 $\mathbf{I}_n$ 是 $n \times n$ 的单位矩阵，并且可逆矩阵 $\mathbf{C}$ 的逆矩阵为 $\mathbf{C}^{-1}$。

回答以下问题。

1. 展示 $\mathbf{A}^2$ 的所有特征值及相应的特征向量。

2. 如果 $\lambda_1, \dots, \lambda_n$ 是互不相同的，证明 $\mathbf{P}^{-1} \mathbf{A} \mathbf{P}$ 是一个对角矩阵，其中 $\mathbf{P} = (\mathbf{\alpha}_1, \dots, \mathbf{\alpha}_n)$ 是由特征向量构成的矩阵。

3. 展示 $\mathbf{B}$ 的所有特征值及相应的特征向量。

$$\mathbf{B} = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0 \\ -2 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

4. 假设 $\mu$ 是 $\mathbf{B}$ 的最大特征值，并且 $\mathbf{\gamma} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$。
   计算 $\mathbf{\delta} = (\mathbf{B} - \mu \mathbf{I}_3)\mathbf{\gamma}$。

5. 假设 $\beta$ 是 $\mathbf{B}$ 对应于最小特征值的特征向量。计算 $\mathbf{Q}^{-1}\mathbf{B}\mathbf{Q}$，其中 $\mathbf{Q} = (\mathbf{\delta}, \mathbf{\gamma}, \beta)$ 是由 $\mathbf{\delta}, \mathbf{\gamma}, \beta$ 构成的矩阵。

6. 假设 $m$ 是任意正整数。计算 $\mathbf{B}^m$。

题目描述

设 $n\times n$ 方阵 $\mathbf A$ 的特征值及对应特征向量分别为

$$\lambda_1,\ldots,\lambda_n,\qquad \boldsymbol\alpha_1,\ldots,\boldsymbol\alpha_n.$$

$\mathbf I_n$ 表示单位矩阵，可逆矩阵 $\mathbf C$ 的逆记为 $\mathbf C^{-1}$。回答：

1. 列出 $\mathbf A^2$ 的全部特征值及对应特征向量。

2. 若 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$ 两两不同，令

   $$\mathbf P=(\boldsymbol\alpha_1,\ldots,\boldsymbol\alpha_n),$$

   证明 $\mathbf P^{-1}\mathbf A\mathbf P$ 为对角矩阵。

3. 求

   $$\mathbf B= \begin{pmatrix} 3&0&0\\ -2&3&2\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$$

   的全部特征值与相应特征向量。

4. 设 $\mu$ 为 $\mathbf B$ 的最大特征值，

   $$\boldsymbol\gamma=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},$$

   计算

   $$\boldsymbol\delta=(\mathbf B-\mu\mathbf I_3)\boldsymbol\gamma.$$

5. 设 $\boldsymbol\beta$ 是 $\mathbf B$ 最小特征值对应的特征向量，并令

   $$\mathbf Q=(\boldsymbol\delta,\boldsymbol\gamma,\boldsymbol\beta),$$

   计算 $\mathbf Q^{-1}\mathbf B\mathbf Q$。

6. 对任意正整数 $m$，计算 $\mathbf B^m$。

Kai

1. Eigenpairs of $\mathbf A^2$

For every $i$,

$$\mathbf A^2\boldsymbol\alpha_i =\mathbf A(\lambda_i\boldsymbol\alpha_i) =\lambda_i^2\boldsymbol\alpha_i.$$

Thus the eigenvalues of $\mathbf A^2$ are $\lambda_i^2$ (with algebraic multiplicity), and each $\boldsymbol\alpha_i$ is a corresponding eigenvector. If $\mathbf A$ is diagonalizable, the full eigenspace is

$$E_\mu(\mathbf A^2)= \bigoplus_{\substack{\lambda\in\sigma(\mathbf A)\\\lambda^2=\mu}} E_\lambda(\mathbf A).$$

Without diagonalizability, the listed eigenvectors need not describe every eigenvector of $\mathbf A^2$.

2. Diagonalization of $\mathbf A$

Distinct eigenvalues have linearly independent eigenvectors, so $\mathbf P$ is invertible. Since

$$\mathbf A\mathbf P =(\lambda_1\boldsymbol\alpha_1,\ldots,\lambda_n\boldsymbol\alpha_n) =\mathbf P\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n),$$

we obtain

$$\mathbf P^{-1}\mathbf A\mathbf P =\operatorname{diag}(\lambda_1,\ldots,\lambda_n).$$

3. Eigenpairs of $\mathbf B$

$$\det(\mathbf B-\lambda\mathbf I_3)=(3-\lambda)^2(1-\lambda).$$

Hence

$$\lambda=3:\quad E_3=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}\right\}, \qquad \lambda=1:\quad E_1=\operatorname{span}\!\left\{\begin{pmatrix}0\\-1\\1\end{pmatrix}\right\}.$$

The eigenvalue $3$ has algebraic multiplicity $2$ and geometric multiplicity $1$.

4. Computing $\boldsymbol\delta$

Here $\mu=3$, so

$$\boldsymbol\delta=(\mathbf B-3\mathbf I_3)\boldsymbol\gamma =\begin{pmatrix}0\\-2\\0\end{pmatrix}.$$

5. Computing $\mathbf Q^{-1}\mathbf B\mathbf Q$

Choose $\boldsymbol\beta=(0,-1,1)^T$. Then

$$\mathbf B\boldsymbol\delta=3\boldsymbol\delta, \qquad \mathbf B\boldsymbol\gamma=\boldsymbol\delta+3\boldsymbol\gamma, \qquad \mathbf B\boldsymbol\beta=\boldsymbol\beta.$$

Therefore

$$\mathbf Q^{-1}\mathbf B\mathbf Q =\begin{pmatrix} 3&1&0\\ 0&3&0\\ 0&0&1 \end{pmatrix}.$$

6. Computing $\mathbf B^m$

Raising the Jordan block above to the $m$-th power gives

$$\boxed{ \mathbf B^m= \begin{pmatrix} 3^m&0&0\\ -2m3^{m-1}&3^m&3^m-1\\ 0&0&1 \end{pmatrix}} \qquad(m\ge1).$$

Knowledge

重点词汇

• singular value decomposition (SVD) 奇异值分解
• pseudoinverse 广义逆
• surjective 满射
• injective 单射
• orthogonal decomposition 正交分解

参考资料

1. "Linear Algebra and Its Applications" by Gilbert Strang, Chapter 7: The Singular Value Decomposition (SVD)
2. "Matrix Computations" by Gene H. Golub and Charles F. Van Loan, Chapter 2: Matrix Analysis