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東京大学 新領域創成科学研究科 メディカル情報生命専攻 2023年8月実施 問題11

Author​

zephyr

Description​

Let be independent nonnegative real-valued random variables with the same probability density function . Answer the following questions with mathematical derivation.

(1) Compute the mean and variance of .

(2) Suppose the value of is given as for some . Compute probability that is less than or equal to for a given index with .

(3) Compute probability by multiplying the probability of (2) by and integrating it with respect to .

(4) Let be the minimum value of set . Compute the probability that is greater than or equal to for a given positive real number .

For given positive real numbers , define random variables as .

(5) Suppose the value of is given as for some . Compute probability that is less than or equal to for a given index with .

(6) Suppose the value of is given as for some . Compute probability that is less than or equal to for all the indices with .

(7) Let be a minimum element in set . Answer the probability distribution of index .

设 是 个独立的非负实值随机变量，其概率密度函数为 。请用数学推导回答以下问题。

(1) 计算 的均值和方差。

(2) 假设 的值为 ，计算 的概率，即 小于或等于 的概率，其中 。

(3) 计算 的概率，通过 (2) 的概率乘以 并对 积分。

(4) 令 为集合 的最小值。计算 的概率，即 大于或等于给定正实数 的概率。

对于 个给定的正实数 ，定义随机变量 为 。

(5) 假设 的值为 ，计算 的概率，即 小于或等于 的概率，其中 。

(6) 假设 的值为 ，计算 的概率，即 小于或等于 的概率，对于所有 。

(7) 令 为集合 中的最小元素。回答索引 的概率分布 。

Kai​

Written by zephyr

题目背景​

令 为 个独立的非负实值随机变量，它们具有相同的概率密度函数 。

1. Compute the mean and variance of ​

For the exponential distribution , we can calculate the mean and variance as follows:

Mean​

Variance​

Therefore, and .

2. Compute probability ​

Given , the distribution of remains . Thus:

3. Compute probability ​

We need to integrate over :

4. Compute probability ​

The probability that is greater than or equal to is equal to the probability that all are greater than or equal to :

5. Compute probability ​

Given , we have:

6. Compute probability ​

This probability is the product of all for :

7. Compute the probability distribution ​

To calculate , we need to integrate over :

Therefore, .

Knowledge​

难点思路​

这道题的难点在于处理条件概率和多个随机变量的最小值。特别是在第 6 和第 7 问中，需要仔细处理多个条件的交集概率。

解题技巧和信息​

  1. 对于指数分布，要熟悉其基本性质，如均值、方差、累积分布函数等。
  2. 在处理多个独立随机变量时，要善于利用独立性质简化计算。
  3. 在计算条件概率时，要清楚地区分给定条件下的随机变量和非随机变量。
  4. 在处理最小值问题时，可以转化为所有变量都大于某个值的概率。
  5. 在积分计算中，要善于使用指数函数的性质，如 。

重点词汇​

  • Probability density function: 概率密度函数
  • Exponential distribution: 指数分布
  • Conditional probability: 条件概率
  • Minimum value: 最小值
  • Order statistics: 顺序统计量
  • Independent random variables: 独立随机变量