東京大学 新領域創成科学研究科 メディカル情報生命専攻 2023年8月実施 問題11

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• Exponential-Distribution
• Conditional-Probability
• Order-Statistics

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zephyr

Description

Let $X_i$ $(i = 1, \dots, n; n \geq 2)$ be $n$ independent nonnegative real-valued random variables with the same probability density function $f(x) = e^{-x}$. Answer the following questions with mathematical derivation.

(1) Compute the mean and variance of $X_i$.

(2) Suppose the value of $X_i$ is given as $x_i$ for some $i$. Compute probability $\mathbb{P}(X_i \leq X_k \mid X_i = x_i)$ that $X_i$ is less than or equal to $X_k$ for a given index $k$ with $k \neq i$.

(3) Compute probability $\mathbb{P}(X_i \leq X_k)$ by multiplying the probability of (2) by $f(x_i)$ and integrating it with respect to $x_i$.

(4) Let $X_{\min} = \min_{k=1,\dots,n} X_k$ be the minimum value of set $\{ X_i \mid i = 1, \dots, n \}$. Compute the probability $\mathbb{P}(x \leq X_{\min})$ that $X_{\min}$ is greater than or equal to $x$ for a given positive real number $x$.

For $n$ given positive real numbers $\lambda_i$ $(i = 1, \dots, n)$, define random variables $Z_i$ $(i = 1, \dots, n)$ as $Z_i = \frac{X_i}{\lambda_i}$.

(5) Suppose the value of $X_i$ is given as $x_i$ for some $i$. Compute probability $\mathbb{P}(Z_i \leq Z_k \mid X_i = x_i)$ that $Z_i$ is less than or equal to $Z_k$ for a given index $k$ with $k \neq i$.

(6) Suppose the value of $X_i$ is given as $x_i$ for some $i$. Compute probability $\mathbb{P}\left(\bigcap_{k=1,\dots,n; k \neq i} \{ Z_i \leq Z_k \} \mid X_i = x_i\right)$ that $Z_i$ is less than or equal to $Z_k$ for all the indices $k$ with $k \neq i$.

(7) Let $Z_I$ be a minimum element in set $\{ Z_i \mid i = 1, \dots, n \}$. Answer the probability distribution $\mathbb{P}(I = i)$ $(i = 1, \dots, n)$ of index $I = \mathop{\arg\min}\limits_{k=1,\dots,n} Z_k$.

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设 $X_i$ $(i = 1, \dots, n; n \geq 2)$ 是 $n$ 个独立的非负实值随机变量，其概率密度函数为 $f(x) = e^{-x}$。请用数学推导回答以下问题。

(1) 计算 $X_i$ 的均值和方差。

(2) 假设 $X_i$ 的值为 $x_i$，计算 $\mathbb{P}(X_i \leq X_k \mid X_i = x_i)$ 的概率，即 $X_i$ 小于或等于 $X_k$ 的概率，其中 $k \neq i$。

(3) 计算 $\mathbb{P}(X_i \leq X_k)$ 的概率，通过 (2) 的概率乘以 $f(x_i)$ 并对 $x_i$ 积分。

(4) 令 $X_{\min} = \min_{k=1,\dots,n} X_k$ 为集合 $\{ X_i \mid i = 1, \dots, n \}$ 的最小值。计算 $\mathbb{P}(x \leq X_{\min})$ 的概率，即 $X_{\min}$ 大于或等于给定正实数 $x$ 的概率。

对于 $n$ 个给定的正实数 $\lambda_i$ $(i = 1, \dots, n)$，定义随机变量 $Z_i$ $(i = 1, \dots, n)$ 为 $Z_i = \frac{X_i}{\lambda_i}$。

(5) 假设 $X_i$ 的值为 $x_i$，计算 $\mathbb{P}(Z_i \leq Z_k \mid X_i = x_i)$ 的概率，即 $Z_i$ 小于或等于 $Z_k$ 的概率，其中 $k \neq i$。

(6) 假设 $X_i$ 的值为 $x_i$，计算 $\mathbb{P}\left(\bigcap_{k=1,\dots,n; k \neq i} \{ Z_i \leq Z_k \} \mid X_i = x_i\right)$ 的概率，即 $Z_i$ 小于或等于 $Z_k$ 的概率，对于所有 $k \neq i$。

(7) 令 $Z_I$ 为集合 $\{ Z_i \mid i = 1, \dots, n \}$ 中的最小元素。回答索引 $I = \mathop{\arg\min}\limits_{k=1,\dots,n} Z_k$ 的概率分布 $\mathbb{P}(I = i)$ $(i = 1, \dots, n)$。

题目描述

设 $n\ge2$，随机变量 $X_1,\ldots,X_n$ 相互独立、均取非负实数，且共同密度为

$$f(x)=e^{-x}\qquad(x\ge0).$$

要求给出数学推导并回答：

1. 求 $X_i$ 的均值和方差。
2. 对给定 $k\ne i$，在 $X_i=x_i$ 条件下求
   $$P(X_i\le X_k\mid X_i=x_i).$$
3. 将第 2 问结果乘以 $f(x_i)$ 并对 $x_i$ 积分，求 $P(X_i\le X_k)$。
4. 令
   $$X_{\min}=\min_{k=1,\ldots,n}X_k.$$
   对给定正实数 $x$，求尾概率 $P(x\le X_{\min})$。
5. 给定正实数 $\lambda_1,\ldots,\lambda_n$，定义
   $$Z_i=\frac{X_i}{\lambda_i}.$$
   在 $X_i=x_i$ 条件下，对 $k\ne i$ 求 $P(Z_i\le Z_k\mid X_i=x_i)$。
6. 在同一条件下，求
   $$P\!\left(\bigcap_{\substack{k=1,\ldots,n\\k\ne i}} \{Z_i\le Z_k\}\,\middle|\,X_i=x_i\right).$$
7. 令
   $$I=\underset{k=1,\ldots,n}{\arg\min}\,Z_k,$$
   求索引 $I$ 的分布 $P(I=i)$（$i=1,\ldots,n$）。

考点

• 指数分布：由密度积分求均值、方差和生存函数，并利用独立性得到多个变量最小值的分布。
• 条件概率与全概率公式：先固定 $X_i=x_i$ 计算比较事件，再对 $x_i$ 的密度积分消去条件。
• 指数竞赛与次序统计量：识别 $Z_i=X_i/\lambda_i$ 具有速率 $\lambda_i$，计算每个缩放变量成为总体最小值的概率。

Kai

Written by zephyr

题目背景

令 $X_i$ $(i = 1, \dots, n; n \geq 2)$ 为 $n$ 个独立的非负实值随机变量，它们具有相同的概率密度函数 $f(x) = e^{-x}$。

1. Compute the mean and variance of $X_i$

For the exponential distribution $f(x) = e^{-x}$, we can calculate the mean and variance as follows:

Mean

$$\begin{align*} E[X_i] &= \int_0^\infty x f(x) dx \\ &= \int_0^\infty x e^{-x} dx \\ &= [-xe^{-x}]_0^\infty + \int_0^\infty e^{-x} dx \\ &= 0 + [-e^{-x}]_0^\infty \\ &= 1 \end{align*}$$

Variance

$$\begin{align*} Var(X_i) &= E[X_i^2] - (E[X_i])^2 \\ &= \int_0^\infty x^2 e^{-x} dx - 1^2 \\ &= [-x^2e^{-x}]_0^\infty + 2\int_0^\infty xe^{-x} dx - 1 \\ &= 0 + 2 - 1 \\ &= 1 \end{align*}$$

Therefore, $E[X_i] = 1$ and $Var(X_i) = 1$.

2. Compute probability $\mathbb{P}(X_i \leq X_k \mid X_i = x_i)$

Given $X_i = x_i$, the distribution of $X_k$ remains $f(x) = e^{-x}$. Thus:

$$\begin{align*} \mathbb{P}(X_i \leq X_k \mid X_i = x_i) &= \mathbb{P}(x_i \leq X_k) \\ &= 1 - \mathbb{P}(X_k < x_i) \\ &= 1 - \int_0^{x_i} e^{-x} dx \\ &= 1 - [-e^{-x}]_0^{x_i} \\ &= 1 - (1 - e^{-x_i}) \\ &= e^{-x_i} \end{align*}$$

3. Compute probability $\mathbb{P}(X_i \leq X_k)$

We need to integrate over $x_i$:

$$\begin{align*} \mathbb{P}(X_i \leq X_k) &= \int_0^\infty \mathbb{P}(X_i \leq X_k \mid X_i = x) f(x) dx \\ &= \int_0^\infty e^{-x} \cdot e^{-x} dx \\ &= \int_0^\infty e^{-2x} dx \\ &= [-\frac{1}{2}e^{-2x}]_0^\infty \\ &= \frac{1}{2} \end{align*}$$

4. Compute probability $\mathbb{P}(x \leq X_{\min})$

The probability that $X_{\min}$ is greater than or equal to $x$ is equal to the probability that all $X_i$ are greater than or equal to $x$:

$$\begin{align*} \mathbb{P}(x \leq X_{\min}) &= \mathbb{P}(\bigcap_{i=1}^n \{x \leq X_i\}) \\ &= \prod_{i=1}^n \mathbb{P}(x \leq X_i) \quad \text{(since $X_i$ are independent)} \\ &= (\mathbb{P}(x \leq X_1))^n \\ &= (1 - \mathbb{P}(X_1 < x))^n \\ &= (1 - \int_0^x e^{-t} dt)^n \\ &= (1 - (1 - e^{-x}))^n \\ &= e^{-nx} \end{align*}$$

5. Compute probability $\mathbb{P}(Z_i \leq Z_k \mid X_i = x_i)$

Given $X_i = x_i$, we have:

$$\begin{align*} \mathbb{P}(Z_i \leq Z_k \mid X_i = x_i) &= \mathbb{P}(\frac{x_i}{\lambda_i} \leq \frac{X_k}{\lambda_k}) \\ &= \mathbb{P}(X_k \geq \frac{\lambda_k}{\lambda_i}x_i) \\ &= \int_{\frac{\lambda_k}{\lambda_i}x_i}^\infty e^{-x} dx \\ &= [-e^{-x}]_{\frac{\lambda_k}{\lambda_i}x_i}^\infty \\ &= e^{-\frac{\lambda_k}{\lambda_i}x_i} \end{align*}$$

6. Compute probability $\mathbb{P}\left(\bigcap_{k=1,\dots,n; k \neq i} \{ Z_i \leq Z_k \} \mid X_i = x_i\right)$

This probability is the product of all $\mathbb{P}(Z_i \leq Z_k \mid X_i = x_i)$ for $k \neq i$:

$$\begin{align*} \mathbb{P}\left(\bigcap_{k=1,\dots,n; k \neq i} \{ Z_i \leq Z_k \} \mid X_i = x_i\right) &= \prod_{k=1,\dots,n; k \neq i} \mathbb{P}(Z_i \leq Z_k \mid X_i = x_i) \\ &= \prod_{k=1,\dots,n; k \neq i} e^{-\frac{\lambda_k}{\lambda_i}x_i} \\ &= \exp\left(-\sum_{k=1,\dots,n; k \neq i} \frac{\lambda_k}{\lambda_i}x_i\right) \\ &= \exp\left(-\frac{x_i}{\lambda_i}\sum_{k=1,\dots,n; k \neq i} \lambda_k\right) \end{align*}$$

7. Compute the probability distribution $\mathbb{P}(I = i)$

To calculate $\mathbb{P}(I = i)$, we need to integrate over $x_i$:

$$\begin{align*} \mathbb{P}(I = i) &= \int_0^\infty \mathbb{P}\left(\bigcap_{k=1,\dots,n; k \neq i} \{ Z_i \leq Z_k \} \mid X_i = x_i\right) f(x_i) dx_i \\ &= \int_0^\infty \exp\left(-\frac{x_i}{\lambda_i}\sum_{k=1,\dots,n; k \neq i} \lambda_k\right) e^{-x_i} dx_i \\ &= \int_0^\infty \exp\left(-x_i\left(\frac{1}{\lambda_i}\sum_{k=1,\dots,n; k \neq i} \lambda_k + 1\right)\right) dx_i \\ &= \left[-\frac{1}{\frac{1}{\lambda_i}\sum_{k=1,\dots,n; k \neq i} \lambda_k + 1} \exp\left(-x_i\left(\frac{1}{\lambda_i}\sum_{k=1,\dots,n; k \neq i} \lambda_k + 1\right)\right)\right]_0^\infty \\ &= \frac{1}{\frac{1}{\lambda_i}\sum_{k=1,\dots,n; k \neq i} \lambda_k + 1} \\ &= \frac{\lambda_i}{\sum_{k=1}^n \lambda_k} \end{align*}$$

Therefore, $\mathbb{P}(I = i) = \frac{\lambda_i}{\sum_{k=1}^n \lambda_k}$.

Knowledge

难点思路

这道题的难点在于处理条件概率和多个随机变量的最小值。特别是在第 6 和第 7 问中，需要仔细处理多个条件的交集概率。

解题技巧和信息

1. 对于指数分布，要熟悉其基本性质，如均值、方差、累积分布函数等。
2. 在处理多个独立随机变量时，要善于利用独立性质简化计算。
3. 在计算条件概率时，要清楚地区分给定条件下的随机变量和非随机变量。
4. 在处理最小值问题时，可以转化为所有变量都大于某个值的概率。
5. 在积分计算中，要善于使用指数函数的性质，如 $\int e^{ax} dx = \frac{1}{a}e^{ax} + C$。

重点词汇

• Probability density function: 概率密度函数
• Exponential distribution: 指数分布
• Conditional probability: 条件概率
• Minimum value: 最小值
• Order statistics: 顺序统计量
• Independent random variables: 独立随机变量