東京大学 新領域創成科学研究科 メディカル情報生命専攻 2014年8月実施 問題8

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• Tokyo-University
• Eigenvalues-and-Eigenvectors
• Matrix-Diagonalization
• Kernel-and-Image

Author

zephyr

Description

Let $Z^* = \left\{ \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix} : \text{complex number}, |z_1|^2 + |z_2|^2 \neq 0 \right\}$ be the set of non-zero complex two-dimensional vectors. Let $M = \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix}$ be a 2 by 2 real symmetric matrix, and $I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ be the unit matrix.

(1) Find all the eigenvalues $\lambda_1, \lambda_2$ of $M$.

(2) Under the assumption of $\lambda_1 \neq \lambda_2$, answer i) and ii).

• i) Let $U = (v_1, v_2)$ be the matrix whose first and second columns consist of the eigenvectors $v_1$ and $v_2$ for the eigenvalues $\lambda_1$ and $\lambda_2$, respectively. Show that $U$ is invertible and satisfies $M = U \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} U^{-1}$.
• ii) Prove that the set $\{ U^{-1} x | x \in Z^* \}$ and $Z^*$ are equal.

(3) For each of the statements A), B), and C), answer the conditions on matrix elements $a, b, d$ for the statement to hold.

• A) Every $y \in Z^*$ can be expressed as $y = Mx$ with some $x \in Z^*$.
• B) No $y \in Z^*$ can be expressed as $y = Mx$ with some $x \in Z^*$.
• C) At least one $y \in Z^*$ can be expressed as $y = (M - \lambda_1 I)x$ with some $x \in Z^*$.

---

设 $Z^* = \left\{ \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix} : \text{复数}, |z_1|^2 + |z_2|^2 \neq 0 \right\}$ 为非零复二维向量的集合。设 $M = \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix}$ 为一个 2×2 的实对称矩阵，$I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ 为单位矩阵。

(1) 找出 $M$ 的所有特征值 $\lambda_1, \lambda_2$。

(2) 在假设 $\lambda_1 \neq \lambda_2$ 的条件下，回答 i) 和 ii)。

• i) 设 $U = (v_1, v_2)$ 为一个矩阵，其第一列和第二列分别由特征值 $\lambda_1$ 和 $\lambda_2$ 的特征向量 $v_1$ 和 $v_2$ 组成。证明 $U$ 是可逆的，并且满足 $M = U \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} U^{-1}$。
• ii) 证明集合 $\{ U^{-1} x | x \in Z^* \}$ 和 $Z^*$ 是相等的。

(3) 对于每个陈述 A), B), 和 C)，回答矩阵元素 $a, b, d$ 的条件使该陈述成立。

• A) 每个 $y \in Z^*$ 都可以表示为 $y = Mx$，其中 $x \in Z^*$。
• B) 没有 $y \in Z^*$ 可以表示为 $y = Mx$，其中 $x \in Z^*$。
• C) 至少有一个 $y \in Z^*$ 可以表示为 $y = (M - \lambda_1 I)x$，其中 $x \in Z^*$。

题目描述

令

$$Z^*=\left\{\binom{z_1}{z_2}:z_1,z_2\in\mathbb C,\ |z_1|^2+|z_2|^2\ne0\right\}, \quad M=\begin{pmatrix}a&b\\b&d\end{pmatrix}, \quad I=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix},$$

其中 $M$ 为 $2\times2$ 实对称矩阵。回答下列问题：

1. 求 $M$ 的全部特征值 $\lambda_1,\lambda_2$。
2. 假设 $\lambda_1\ne\lambda_2$：
   1. 取对应特征向量 $v_1,v_2$ 并令 $U=(v_1,v_2)$，证明 $U$ 可逆且
      $$M=U\begin{pmatrix}\lambda_1&0\\0&\lambda_2\end{pmatrix}U^{-1}.$$
   2. 证明 $\{U^{-1}x\mid x\in Z^*\}=Z^*$。
3. 分别求矩阵元素 $a,b,d$ 应满足的条件，使下列陈述成立：
   • 每个 $y\in Z^*$ 均可写为 $y=Mx$，其中 $x\in Z^*$；
   • 不存在可写为 $y=Mx$（$x\in Z^*$）的 $y\in Z^*$；
   • 至少存在一个 $y\in Z^*$ 可写为 $y=(M-\lambda_1I)x$，其中 $x\in Z^*$。

考点

• 特征值与特征向量：由实对称二阶矩阵的特征方程求两个特征值，并利用不同特征值对应向量的线性无关性。
• 矩阵对角化：以两组特征向量组成可逆矩阵 $U$，证明相似对角分解及可逆线性变换对非零向量集的保持。
• 核与像：把三个存在性陈述分别转化为 $M$ 或 $M-\lambda_1I$ 的满射性、零映射性与像空间非平凡性，再落实为 $a,b,d$ 的条件。

Kai

(1)

To find the eigenvalues of the matrix $M = \begin{pmatrix} a & b \\ b & d \end{pmatrix}$, we solve the characteristic equation:

$$\det(M - \lambda I) = 0$$

The characteristic polynomial of $M$ is:

$$\det \begin{pmatrix} a - \lambda & b \\ b & d - \lambda \end{pmatrix} = (a - \lambda)(d - \lambda) - b^2 = 0$$

This simplifies to:

$$\lambda^2 - (a + d)\lambda + (ad - b^2) = 0$$

The eigenvalues $\lambda_1$ and $\lambda_2$ are the roots of this quadratic equation:

$$\lambda_{1,2} = \frac{(a + d) \pm \sqrt{(a + d)^2 - 4(ad - b^2)}}{2}$$

(2)

i) Showing $U$ is Invertible

Let $v_1$ and $v_2$ be the eigenvectors ==corresponding== to $\lambda_1$ and $\lambda_2$, respectively. Define the matrix $U = (v_1, v_2)$. Since $\lambda_1 \neq \lambda_2$, the eigenvectors $v_1$ and $v_2$ are ==linearly independent==, and thus $U$ is invertible.

To show that $M = U \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} U^{-1}$, consider the action of $M$ on the eigenvectors:

$$Mv_1 = \lambda_1 v_1 \quad \text{and} \quad Mv_2 = \lambda_2 v_2$$

Therefore,

$$M(v_1, v_2) = (Mv_1, Mv_2) = (\lambda_1 v_1, \lambda_2 v_2) = (v_1, v_2) \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$$

Thus, we have:

$$M = U \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix} U^{-1}$$

ii) Proving Set Equality

To prove that the set $\left\{ U^{-1} x | x \in Z^* \right\}$ and $Z^*$ are equal, consider any $x \in Z^*$. Then $U^{-1}x \in Z^*$ if and only if $|z_1|^2 + |z_2|^2 \neq 0$. Since $U$ is invertible and $Z^*$ consists of all non-zero complex vectors, applying $U^{-1}$ to any vector in $Z^*$ yields another non-zero complex vector, ensuring the sets are equal.

(3)

A) For every $y \in Z^*$ to be expressible as $y = Mx$ for some $x \in Z^*$, $M$ must be invertible. This requires $\lambda_1 \neq 0$ and $\lambda_2 \neq 0$, ensuring $a \neq 0$, $d \neq 0$, and $ad - b^2 \neq 0$.

B) No $y \in Z^*$ can be expressed as $y = Mx$ for some $x \in Z^*$ if $M$ is singular and its image does not cover $Z^*$. This happens when $M$ has a zero eigenvalue, i.e., $ad - b^2 = 0$ and one of the eigenvalues is zero.

C) At least one $y \in Z^*$ can be expressed as $y = (M - \lambda_1 I)x$ for some $x \in Z^*$ if $a=d$ and $b=0$ do not both hold true. This requires $M - \lambda_1 I$ to be invertible or have a non-trivial image, which is true if $\lambda_1$ is not an eigenvalue of $M$, ensuring $\lambda_2 \neq \lambda_1$.

Knowledge

特征值和特征向量 矩阵分解

解题技巧和信息

1. 特征值问题中，特征多项式是重要的工具，通过求解特征多项式可以得到特征值。
2. 当矩阵的特征值不同时，其特征向量是线性无关的，这使得特征向量矩阵是可逆的。
3. 在处理复杂矩阵时，注意到特征向量的规范性及其在不同基底下的表示。

重点词汇

eigenvalue 特征值

eigenvector 特征向量

invertible 可逆的

characteristic polynomial 特征多项式

quadratic equation 二次方程

参考资料

1. 《线性代数及其应用》 第 5 章 特征值和特征向量