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東京大学 新領域創成科学研究科 メディカル情報生命専攻 2014年8月実施 問題11

Author​

zephyr

Description​

For an arbitrary random variable that takes values in non-negative integers, we define the probability generating function of as . Here, denotes the expected value of , denotes the probability that assumes value , and represents a real number.

(1) Show the following equalities (a), (b).

  • (a)
  • (b)

In the following, and are mutually independent, identically distributed random variables that take values in non-negative integers.

(2) For a positive integer , we define a random variable . Show .

(3) We define a random variable . Here,

Show .

(Hint: for a positive integer )

(4) For , , calculate and .

对于一个取非负整数值的任意随机变量 ，我们定义 的概率生成函数 为 。其中， 表示 的期望值， 表示 取值为 的概率， 表示一个实数。

(1) 证明以下等式 (a), (b)。

  • (a)
  • (b)

在下列情形中， 和 是相互独立的同分布随机变量，取非负整数值。

(2) 对于一个正整数 ，我们定义一个随机变量 。证明 。

(3) 我们定义一个随机变量 。 其中，

如果如果

证明 。

（提示： 对于一个正整数 ）

(4) 对于 , ，计算 和 。

Kai​

(1)​

(a)​

The last step follows from the fact that the sum of probabilities over all possible outcomes is 1.

(b)​

Evaluating at :

(2)​

We need to show where .

(3)​

We need to show where .

Using the hint and the definition of probability generating function:

(4)​

Given , , we need to calculate and .

First, let's calculate :

Now, for , we can use the result from part 1(b) and part 3:

Therefore, .

Knowledge​

概率论 概率生成函数 条件期望 全期望公式 复合分布

难点思路​

  1. 理解概率生成函数的定义和基本性质
  2. 利用独立性推导和的概率生成函数
  3. 使用条件期望和全期望公式推导复合随机变型的概率生成函数
  4. 应用概率生成函数的性质计算具体分布的期望

解题技巧和信息​

  1. 概率生成函数的基本性质：
    • (对于独立的 和 )
  2. 几何分布的概率生成函数：如果 ，则
  3. 利用全期望公式：

重点词汇​

  • Probability generating function: 概率生成函数
  • Independent and identically distributed (i.i.d.): 独立同分布
  • Compound distribution: 复合分布
  • Conditional expectation: 条件期望
  • Law of total expectation: 全期望公式
  • Geometric distribution: 几何分布