東京大学 新領域創成科学研究科 先端エネルギー工学専攻 2020年度 第2問（数学）

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• 东京大学
• 对称矩阵的正交对角化
• 二次型
• 瑞利商
• 约束最优化

Author

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

実対称行列 $A$、実ベクトル $\boldsymbol x$、二次形式 $f$ を

$$A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{pmatrix},\qquad \boldsymbol x=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix},\qquad f(\boldsymbol x)=\boldsymbol x^TA\boldsymbol x$$

と定める。上付き $T$ は転置を表す。

問1

$P^TAP=\Lambda$、$P^TP=I$ を満たす正規直交行列 $P$ と対角行列 $\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$ を求めよ。ただし $\lambda_1\ge\lambda_2\ge\lambda_3$ とし、$P$ の第1行の各成分は非負とする。

問2

制約 $\|\boldsymbol x\|^2=\boldsymbol x^T\boldsymbol x=1$ のもとで $f(\boldsymbol x)$ を最小化する。

$$g(\boldsymbol x)=\boldsymbol x^T\boldsymbol x-1,\qquad L(\boldsymbol x,\mu)=f(\boldsymbol x)+\mu g(\boldsymbol x)$$

とおく。極小点では $\partial L/\partial\boldsymbol x=\boldsymbol0$、$\partial L/\partial\mu=g(\boldsymbol x)=0$ が必要である。

(a) $\partial L/\partial\boldsymbol x$ を求めよ。

(b) $f(\boldsymbol x)$ の最小値と、それを達成する $\boldsymbol x$ を求めよ。

問3

今度は次の二つの制約のもとで $f(\boldsymbol x)$ を最小化する。

$$g_1(\boldsymbol x)=(3\ -\sqrt2\ -1)\boldsymbol x=0,\qquad g_2(\boldsymbol x)=(3\ \sqrt2\ -1)\boldsymbol x-2=0.$$

(a) $\boldsymbol x=P\boldsymbol y$、$\boldsymbol y=(y_1,y_2,y_3)^T$ として、目的関数と両制約を $y_1,y_2,y_3$ で表せ。

(b) 変換後の目的関数の最小値と、それを達成する $\boldsymbol y$ を求めよ。

题目描述

设 $A=\begin{pmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{pmatrix}$，$\boldsymbol x=(x_1,x_2,x_3)^T\in\mathbb R^3$，$f(\boldsymbol x)=\boldsymbol x^TA\boldsymbol x$，其中上标 $T$ 表示转置。

问1：求正交矩阵 $P$ 和对角矩阵 $\Lambda=\operatorname{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3)$，使 $P^TAP=\Lambda$、$P^TP=I$。要求 $\lambda_1\ge\lambda_2\ge\lambda_3$，且 $P$ 第一行各元素非负。

问2：在 $\boldsymbol x^T\boldsymbol x=1$ 下最小化 $f$。令 $g(\boldsymbol x)=\boldsymbol x^T\boldsymbol x-1$、$L=f+\mu g$。极小点满足必要条件 $\partial L/\partial\boldsymbol x=\boldsymbol0$ 和 $\partial L/\partial\mu=g=0$。(a) 求 $\partial L/\partial\boldsymbol x$；(b) 求最小值及对应的全部 $\boldsymbol x$。

问3：改在 $3x_1-\sqrt2x_2-x_3=0$、$3x_1+\sqrt2x_2-x_3-2=0$ 下最小化 $f$。(a) 用 $\boldsymbol x=P\boldsymbol y$ 将目标函数与两项约束改写为 $y_1,y_2,y_3$ 的表达式；(b) 求变换后目标函数的最小值及对应的 $\boldsymbol y$。

Kai

問1

特性多項式は

$$\det(\lambda I-A)=(\lambda-2)(\lambda^2-4\lambda+2)$$

なので、指定された順序での固有値は

$$\lambda_1=2+\sqrt2,\qquad \lambda_2=2,\qquad \lambda_3=2-\sqrt2.$$

対応する固有ベクトルを正規化し、第1成分を正に取ると

$$\boxed{ P=\begin{pmatrix} \frac12&\frac1{\sqrt2}&\frac12\\ -\frac1{\sqrt2}&0&\frac1{\sqrt2}\\ \frac12&-\frac1{\sqrt2}&\frac12 \end{pmatrix},\qquad \Lambda=\begin{pmatrix} 2+\sqrt2&0&0\\0&2&0\\0&0&2-\sqrt2 \end{pmatrix}}.$$

各列は互いに直交する単位固有ベクトルなので、$P^TP=I$、$P^TAP=\Lambda$ を満たす。

問2

(a)

$A=A^T$ より

$$\boxed{ \frac{\partial L}{\partial\boldsymbol x} =2(A+\mu I)\boldsymbol x =\begin{pmatrix} 4x_1-2x_2+2\mu x_1\\ -2x_1+4x_2-2x_3+2\mu x_2\\ -2x_2+4x_3+2\mu x_3 \end{pmatrix}}.$$

(b)

停留条件は $A\boldsymbol x=-\mu\boldsymbol x$ であり、候補は $A$ の単位固有ベクトルである。さらに $\boldsymbol y=P^T\boldsymbol x$ とすると、$\|\boldsymbol y\|^2=1$ だから

$$f(\boldsymbol x) =(2+\sqrt2)y_1^2+2y_2^2+(2-\sqrt2)y_3^2 \ge (2-\sqrt2)(y_1^2+y_2^2+y_3^2) =2-\sqrt2.$$

等号は $y_1=y_2=0$、$y_3=\pm1$ のときに限り成立する。したがって

$$\boxed{\min f=2-\sqrt2,\qquad \boldsymbol x=\pm\begin{pmatrix}1/2\\1/\sqrt2\\1/2\end{pmatrix}}.$$

問3

(a)

$\boldsymbol x=P\boldsymbol y$ とおけば

$$\boxed{f(P\boldsymbol y)=(2+\sqrt2)y_1^2+2y_2^2+(2-\sqrt2)y_3^2}.$$

また

$$(3\ -\sqrt2\ -1)P=(2\ 2\sqrt2\ 0),\qquad (3\ \sqrt2\ -1)P=(0\ 2\sqrt2\ 2)$$

なので、制約は

$$\boxed{2y_1+2\sqrt2y_2=0,\qquad 2\sqrt2y_2+2y_3-2=0}.$$

(b)

制約から $y_2=-y_1/\sqrt2$、$y_3=y_1+1$ である。したがって

$$\begin{aligned} f(P\boldsymbol y) &=(2+\sqrt2)y_1^2+y_1^2+(2-\sqrt2)(y_1+1)^2\\ &=5\left(y_1+\frac{2-\sqrt2}{5}\right)^2+\frac{4-\sqrt2}{5}. \end{aligned}$$

よって最小値と、それを達成する唯一の $\boldsymbol y$ は

$$\boxed{\min f=\frac{4-\sqrt2}{5},\qquad \boldsymbol y=\frac15\begin{pmatrix}\sqrt2-2\\\sqrt2-1\\\sqrt2+3\end{pmatrix}}.$$

Reference

• 東京大学 先端エネルギー工学専攻 2020年度 数学（2019年8月20日実施、公式PDF p.4）