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東京大学 新領域創成科学研究科 先端エネルギー工学専攻 2019年度 第2問（数学）

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Author​

祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description​

次の xyxy 平面上の二次曲線について，以下の問に答えよ。ただし xx と yy は実数とする。

2x2−23xy+4y2−20y+15=0.(1)2x^2-2\sqrt3xy+4y^2-20y+15=0. \tag{1}

問1 ベクトル x=(xy)\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}，b=(b1b2)\boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}，実対称行列 A=(pqqr)A=\begin{pmatrix}p&q\\q&r\end{pmatrix} を用いて式 (1) を

xTAx+2bTx+c=0(2)\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}+2\boldsymbol{b}^{T}\boldsymbol{x}+c=0 \tag{2}

に変形する。このとき，実数 b1,b2,p,q,r,cb_1,b_2,p,q,r,c の値をそれぞれ求めよ。ただし TT は転置を表す。

問2 問1で求めた行列 AA の固有値および固有ベクトルを求めよ。ただし，固有ベクトルは大きさ 11 の単位ベクトルとせよ。

問3 行列 PP を用いて行列 AA を対角行列 B=P−1APB=P^{-1}AP に変換する。このとき，行列 PP および BB を求めよ。ただし P−1P^{-1} は PP の逆行列を表す。

問4 問3で求めた行列 PP を用いて，Px′=xP\boldsymbol{x}'=\boldsymbol{x} の変換により式 (2) を

x′TBx′+2bTPx′+c=0(3)\boldsymbol{x}'^{T}B\boldsymbol{x}'+2\boldsymbol{b}^{T}P\boldsymbol{x}'+c=0 \tag{3}

に変形できることを示せ。ただし x′=(x′y′)\boldsymbol{x}'=\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} である。AA は実対称行列なので，PP は直交行列，すなわち PTP=PPT=EP^TP=PP^T=E（EE は単位行列）であることに注意せよ。

問5 問4の結果をもとに，x′,y′x',y' を用いて式 (1) を表せ。

問6 式 (1) の二次曲線を xyxy 平面上に描け。

問7 x,yx,y が式 (1) を満たすとき，f(x,y)=3x+yf(x,y)=\sqrt3x+y の最大値を求めよ。また，f(x,y)f(x,y) が最大となるときの x,yx,y の値を求めよ。

题目描述​

对 xyxy 平面上的二次曲线

2x2−23xy+4y2−20y+15=02x^2-2\sqrt3xy+4y^2-20y+15=0

回答下列问题，其中 x,yx,y 均为实数。

  1. 令 x=(x,y)T\boldsymbol{x}=(x,y)^T，b=(b1,b2)T\boldsymbol{b}=(b_1,b_2)^T，A=(pqqr)A=\begin{pmatrix}p&q\\q&r\end{pmatrix}，将曲线方程写为 xTAx+2bTx+c=0\boldsymbol{x}^TA\boldsymbol{x}+2\boldsymbol{b}^T\boldsymbol{x}+c=0，求 b1,b2,p,q,r,cb_1,b_2,p,q,r,c。
  2. 求 AA 的特征值及对应的单位特征向量。
  3. 求矩阵 PP 和对角矩阵 BB，使得 B=P−1APB=P^{-1}AP。
  4. 令 x′=(x′,y′)T\boldsymbol{x}'=(x',y')^T。利用变换 Px′=xP\boldsymbol{x}'=\boldsymbol{x}，证明曲线方程变为 x′TBx′+2bTPx′+c=0\boldsymbol{x}'^TB\boldsymbol{x}'+2\boldsymbol{b}^TP\boldsymbol{x}'+c=0。注意 PP 为正交矩阵，即 PTP=PPT=EP^TP=PP^T=E，其中 EE 为单位矩阵。
  5. 用 x′,y′x',y' 写出曲线方程。
  6. 在 xyxy 平面上画出这条二次曲线。
  7. 在该曲线上求 f(x,y)=3x+yf(x,y)=\sqrt3x+y 的最大值，以及取得最大值时的 x,yx,y。

Kai​

問1​

xTAx+2bTx+c=px2+2qxy+ry2+2b1x+2b2y+c\boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}+2\boldsymbol{b}^{T}\boldsymbol{x}+c =px^2+2qxy+ry^2+2b_1x+2b_2y+c

の各係数を比較すると，

b1=0,b2=−10,p=2,q=−3,r=4,c=15.\boxed{b_1=0,\quad b_2=-10,\quad p=2,\quad q=-\sqrt3,\quad r=4,\quad c=15}.

すなわち

A=(2−3−34),b=(0−10).A=\begin{pmatrix}2&-\sqrt3\\-\sqrt3&4\end{pmatrix}, \qquad \boldsymbol{b}=\begin{pmatrix}0\\-10\end{pmatrix}.

問2​

特性方程式は

det⁡(λE−A)=(λ−2)(λ−4)−3=(λ−1)(λ−5)=0.\det(\lambda E-A)=(\lambda-2)(\lambda-4)-3 =(\lambda-1)(\lambda-5)=0.

対応する単位固有ベクトルを次のように選べる。

λ1=1,u1=(3/21/2);λ2=5,u2=(−1/23/2).\boxed{ \lambda_1=1,\quad \boldsymbol{u}_1=\begin{pmatrix}\sqrt3/2\\1/2\end{pmatrix}; \qquad \lambda_2=5,\quad \boldsymbol{u}_2=\begin{pmatrix}-1/2\\\sqrt3/2\end{pmatrix} }.

各固有ベクトルの符号を反転してもよい。

問3​

問2の固有ベクトルを列に並べると，

P=(3/2−1/21/23/2),B=(1005).\boxed{ P=\begin{pmatrix}\sqrt3/2&-1/2\\1/2&\sqrt3/2\end{pmatrix}, \qquad B=\begin{pmatrix}1&0\\0&5\end{pmatrix} }.

PTP=EP^TP=E，AP=PBAP=PB より P−1AP=PTAP=BP^{-1}AP=P^TAP=B である。

問4​

x=Px′\boldsymbol{x}=P\boldsymbol{x}' を式 (2) に代入すると，

xTAx+2bTx+c=x′TPTAPx′+2bTPx′+c=x′TBx′+2bTPx′+c.\begin{aligned} \boldsymbol{x}^{T}A\boldsymbol{x}+2\boldsymbol{b}^{T}\boldsymbol{x}+c &=\boldsymbol{x}'^{T}P^TAP\boldsymbol{x}'+2\boldsymbol{b}^{T}P\boldsymbol{x}'+c\\ &=\boldsymbol{x}'^{T}B\boldsymbol{x}'+2\boldsymbol{b}^{T}P\boldsymbol{x}'+c. \end{aligned}

したがって式 (3) を得る。

問5​

2bTP=(−10,−103)2\boldsymbol{b}^{T}P=(-10,-10\sqrt3) であるから，

x′2+5y′2−10x′−103y′+15=0.\boxed{x'^2+5y'^2-10x'-10\sqrt3y'+15=0}.

問6​

平方完成すると，

(x′−5)2+5(y′−3)2=25,(x'-5)^2+5(y'-\sqrt3)^2=25,

すなわち

(x′−5)225+(y′−3)25=1.\boxed{\frac{(x'-5)^2}{25}+\frac{(y'-\sqrt3)^2}{5}=1}.

PP は角 π/6\pi/6 の回転行列であり，x=Px′\boldsymbol{x}=P\boldsymbol{x}' である。したがって xyxy 平面では，中心が

P(53)=(234)P\begin{pmatrix}5\\\sqrt3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}2\sqrt3\\4\end{pmatrix}

で，長半径が 55，短半径が 5\sqrt5，長軸が xx 軸となす角が π/6\pi/6 の楕円となる。長軸の両端は

(−32,32),(932,132)\left(-\frac{\sqrt3}{2},\frac32\right), \qquad \left(\frac{9\sqrt3}{2},\frac{13}{2}\right)

であり，短軸の両端は

(23−52,4+152),(23+52,4−152)\left(2\sqrt3-\frac{\sqrt5}{2},4+\frac{\sqrt{15}}{2}\right), \qquad \left(2\sqrt3+\frac{\sqrt5}{2},4-\frac{\sqrt{15}}{2}\right)

である。

xy平面上の楕円。中心、半軸長、長軸の傾きおよび長軸の両端を示す。

問7​

座標変換より

f(x,y)=(31)P(x′y′)=2x′.f(x,y) =\begin{pmatrix}\sqrt3&1\end{pmatrix} P\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix} =2x'.

問6の楕円上では 0≤x′≤100\le x'\le10 であり，x′=10x'=10 のとき y′=3y'=\sqrt3 となる。したがって

max⁡f=20.\boxed{\max f=20}.

このとき

(xy)=P(103)=(93/213/2).\boxed{ \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} =P\begin{pmatrix}10\\\sqrt3\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}9\sqrt3/2\\13/2\end{pmatrix} }.

Reference​

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