東京大学 新領域創成科学研究科 先端エネルギー工学専攻 2017年度 第1問（数学）

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• 弧长
• 变分法

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祭音Myyura (refined with GPT 6 Astra)

Description

区間 $[x_0,x_1]$ で定義され、$g(x_0)=g(x_1)=0$ である連続な関数 $g(x)$ がある。この区間における曲線 $y=g(x)$ の長さを $L$、

$$S=\int_{x_0}^{x_1}g(x)\,dx$$

とするとき、定数 $\lambda$ を用いて $I=S+\lambda L$ と定義する。以下の問に答えよ。

問1 $L$ を定積分の形で表せ。

問2

$$I=\int_{x_0}^{x_1}f\bigl(g(x),g'(x)\bigr)\,dx$$

と表した場合における関数 $f(g(x),g'(x))$ を定義する。ただし、$X'=dX/dx$ とする。

(a) 微小変化 $g(x)+\eta(x)$ を考える。ただし、$\eta(x_0)=\eta(x_1)=0$ とする。

$$f(g+\eta,g'+\eta') \simeq f+\frac{\partial f}{\partial g}\eta +\frac{\partial f}{\partial g'}\eta'$$

と近似できるとして、

$$\delta I=\int_{x_0}^{x_1}f(g+\eta,g'+\eta')\,dx -\int_{x_0}^{x_1}f(g,g')\,dx$$

を表す式を求めよ。

(b) $\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\partial f}{\partial g'}\eta\right)$ を計算し、任意の $\eta(x)$ に対して $\delta I=0$ となるための必要条件を求めよ。

(c) (b) の条件のもとで $\dfrac{d}{dx}\left(f-g'\dfrac{\partial f}{\partial g'}\right)$ を表す式を求め、$f-g'\dfrac{\partial f}{\partial g'}$ が任意の $x$ に対して満たすべき式を示せ。

問3 問2(c) で求めた式が満たされるとき、$g(x)$ を求め、区間 $[x_0,x_1]$ における曲線 $y=g(x)$ の概形を描け。

题目描述

连续函数 $g(x)$ 定义在区间 $[x_0,x_1]$ 上，且 $g(x_0)=g(x_1)=0$。记曲线 $y=g(x)$ 在该区间内的长度为 $L$，并令

$$S=\int_{x_0}^{x_1}g(x)\,dx,\qquad I=S+\lambda L,$$

其中 $\lambda$ 为常数。

问1 将 $L$ 表示为定积分。

问2 将 $I$ 写为 $\int_{x_0}^{x_1}f(g,g')\,dx$，其中撇号表示对 $x$ 求导。

(a) 考虑微小变化 $g+\eta$，其中 $\eta(x_0)=\eta(x_1)=0$。利用一阶近似 $f(g+\eta,g'+\eta')\simeq f+f_g\eta+f_{g'}\eta'$，求变化量 $\delta I=\int f(g+\eta,g'+\eta')\,dx-\int f(g,g')\,dx$ 的表达式，两积分的上下限均为 $x_0,x_1$。

(b) 计算 $\dfrac{d}{dx}(f_{g'}\eta)$，求对任意满足端点条件的 $\eta$ 都有 $\delta I=0$ 的必要条件。

(c) 在 (b) 的条件下计算 $\dfrac{d}{dx}(f-g'f_{g'})$，写出 $f-g'f_{g'}$ 应满足的关系式。

问3 在问2(c) 所得关系成立时求 $g(x)$，并画出曲线在 $[x_0,x_1]$ 上的概形。

Kai

$x_0<x_1$ とし、以下では変分計算に必要な微分可能性を仮定する。

問1

弧長要素は $ds=\sqrt{dx^2+dy^2}=\sqrt{1+g'(x)^2}\,dx$ であるから、

$$\boxed{L=\int_{x_0}^{x_1}\sqrt{1+g'(x)^2}\,dx}.$$

問2

被積分関数は

$$f(g,g')=g+\lambda\sqrt{1+g'^2}$$

である。

(a)

$\eta$ の一次の項まで取ると、

$$\boxed{\delta I\simeq \int_{x_0}^{x_1}\left( \frac{\partial f}{\partial g}\eta +\frac{\partial f}{\partial g'}\eta' \right)\,dx}.$$

以下、$\delta I$ はこの一次変分を表すものとする。

(b)

積の微分より、

$$\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial g'}\eta\right) =\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial g'}\right)\eta +\frac{\partial f}{\partial g'}\eta'.$$

したがって、部分積分と $\eta(x_0)=\eta(x_1)=0$ により、

$$\begin{aligned} \delta I &=\left[\frac{\partial f}{\partial g'}\eta\right]_{x_0}^{x_1} +\int_{x_0}^{x_1}\left\{ \frac{\partial f}{\partial g} -\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial g'}\right) \right\}\eta\,dx\\ &=\int_{x_0}^{x_1}\left\{ \frac{\partial f}{\partial g} -\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial g'}\right) \right\}\eta\,dx. \end{aligned}$$

$\eta$ が任意であるから、必要条件はオイラー・ラグランジュ方程式

$$\boxed{\frac{\partial f}{\partial g} -\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial g'}\right)=0}$$

である。

(c)

$f=f(g,g')$ は $x$ に陽に依存しないので、

$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}\left(f-g'\frac{\partial f}{\partial g'}\right) &=\frac{\partial f}{\partial g}g' +\frac{\partial f}{\partial g'}g'' -g''\frac{\partial f}{\partial g'} -g'\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial g'}\right)\\ &=g'\left\{\frac{\partial f}{\partial g} -\frac{d}{dx}\left(\frac{\partial f}{\partial g'}\right)\right\}=0. \end{aligned}$$

よって、ある定数 $C$ に対して

$$\boxed{f-g'\frac{\partial f}{\partial g'}=C}$$

が成り立つ。これはベルトラミの恒等式である。

問3

問2(c) に $f=g+\lambda\sqrt{1+g'^2}$ を代入すると、

$$g+\frac{\lambda}{\sqrt{1+g'^2}}=C. \tag{1}$$

ここで停留曲線は問2(b) の条件も満たすので、

$$1-\lambda\frac{d}{dx}\left(\frac{g'}{\sqrt{1+g'^2}}\right)=0. \tag{2}$$

$\lambda=0$ では (2) は成立せず、停留曲線は存在しない。$\lambda\ne0$ のとき、(2) を積分すると、定数 $a$ を用いて

$$\frac{g'}{\sqrt{1+g'^2}}=\frac{x-a}{\lambda}.$$

$R=|\lambda|$、$\sigma=\operatorname{sgn}\lambda$ とおけば、$|x-a|<R$ において

$$g'=\sigma\frac{x-a}{\sqrt{R^2-(x-a)^2}}, \qquad g(x)=C-\sigma\sqrt{R^2-(x-a)^2}.$$

したがって、曲線は円

$$(x-a)^2+(g-C)^2=R^2$$

の一部である。端点条件から $(x_0-a)^2=(x_1-a)^2$ となるため、

$$m=\frac{x_0+x_1}{2},\qquad d=\frac{x_1-x_0}{2}$$

とおくと、$a=m$、$C=\sigma\sqrt{R^2-d^2}$ である。よって、

$$\boxed{ g(x)=\operatorname{sgn}(\lambda) \left\{\sqrt{\lambda^2-d^2} -\sqrt{\lambda^2-(x-m)^2}\right\} }.$$

閉区間上で有限な傾きをもつ解には $|\lambda|>d$ が必要である。$|\lambda|=d$ は、両端の接線が鉛直になる半円の極限に対応する。$|\lambda|<d$ では、両端を結ぶこのような停留曲線は存在しない。

$\lambda>0$ では $g''>0$、$g(x)\le0$ の下側の円弧であり、$\lambda<0$ では $g''<0$、$g(x)\ge0$ の上側の円弧である。いずれも直線 $x=m$ に関して対称で、半径は $|\lambda|$ である。

なお、(1) だけなら $g\equiv0$ も $C=\lambda$ として満たすが、これは (2) を満たさず、停留曲線ではない。

Reference

• 東京大学公式問題（2017年度、2016年8月23日実施、PDF p.3）