東京大学 工学系研究科 都市工学専攻 2024年8月実施 B-2 水理学

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• Tokyo-University
• Fluid-Mechanics
• Definite-Integral

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

問題1

次の用語を説明せよ。

1. 限界勾配
2. キャビテーション
3. ピエゾ水頭
4. 粘性係数
5. 限界 Reynolds 数

問題2

Venturi 管が何を算出するために用いられるか説明し、構造を図示せよ。また、その算出原理を表す式を示せ。

       断面積 A1                    断面積 A2（絞り部）
   ────────────＼                ／────────
    p1, v1       ＼____________／   p2, v2       流れ →
       │                              │
       └──── 圧力差 Δp = p1-p2 ──────┘

問題3

開き角 $\theta$ の三角堰で、水位を $H$、自由表面から下向きに測った水深を $z$、流出係数を $c$ とする。

       自由表面
   ─────────────
      ＼← 幅 b →／    深さ z、厚さ dz
       ＼─────／
        ＼   ／
         ＼ ／  開き角 θ
          V
       全水深 H

1. 水深 $z$、厚さ $dz$ の微小矩形断面からの流量 $dQ$ を求めよ。
2. 堰全体の流量 $Q$ を $H$ の式で表せ。

Kai

問題1

1. 限界勾配は、等流水深と限界水深が一致する水路床勾配である。
2. キャビテーションは、局所圧力が飽和蒸気圧以下となって気泡が生じ、下流で崩壊する現象である。
3. ピエゾ水頭は位置水頭と圧力水頭の和 $z+p/(\rho g)$ である。
4. 粘性係数 $\mu$ は流体のせん断変形への抵抗を表し、Newton 流体では $\tau=\mu\,du/dy$ である。
5. 限界 Reynolds 数は層流から乱流へ遷移する境界の Reynolds 数である。

問題2

Venturi 管は絞り部の圧力低下から流量を求める装置である。水平な非圧縮流では、連続式と Bernoulli の式より

$$Q=A_1v_1=A_2v_2, \qquad \frac{p_1}{\rho}+\frac{v_1^2}{2} =\frac{p_2}{\rho}+\frac{v_2^2}{2}.$$

したがって、流出係数を $C_d$ とすると

$$\boxed{ Q=C_d\frac{A_1A_2}{\sqrt{A_1^2-A_2^2}} \sqrt{\frac{2(p_1-p_2)}{\rho}} }.$$

問題3

(1)

水深 $z$ での堰幅は

$$b=2(H-z)\tan\frac\theta2.$$

流速 $v=\sqrt{2gz}$ より

$$\boxed{dQ=2c(H-z)\sqrt{2gz}\tan\frac\theta2\,dz}.$$

(2)

$$\begin{aligned} Q &=2c\sqrt{2g}\tan\frac\theta2 \int_0^H(H-z)z^{1/2}\,dz\\ &=\boxed{\frac{8c\sqrt{2g}}{15}H^{5/2}\tan\frac\theta2}. \end{aligned}$$

Reference

• 東京大学 都市工学専攻「過去問」
• 令和7年度 B）都市工学専門（公式PDF）