東京大学 工学系研究科 都市工学専攻 2024年8月実施 B-12 都市解析 問題1

标签：

• Tokyo-University
• Markov-Chain

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

（題意の要約）商店街の二つのスポット A, B の間を歩く人々を考える。外部との出入りを無視し、各時間ステップで A から B へ移る確率を $p_{AB}$、B から A へ移る確率を $p_{BA}$ とする。これらの確率は時刻によらず、移動しない人は同じスポットに残る。時点 $t$ の A, B の人数比率を $x_t:1-x_t$ とする。

1. $x_t$ が $x$ に収束する場合、$x,p_{AB},p_{BA}$ の関係を示せ。
2. 初期値 $x_0$ を用いて $x_t$ を表せ。
3. 現実に近づける具体的な改良を一つ挙げ、その理由を含めて3行程度で述べよ。

Kai

(1)

$$x_{t+1}=x_t(1-p_{AB})+(1-x_t)p_{BA}.$$

極限が存在するなら、漸化式の両辺で極限を取り、

$$\boxed{x p_{AB}=(1-x)p_{BA}}.$$

したがって、$p_{AB}+p_{BA}>0$ のときは

$$\boxed{x=\frac{p_{BA}}{p_{AB}+p_{BA}}}.$$

$p_{AB}=p_{BA}=0$ のときは $x_t=x_0$ であり、$x=x_0$ となる。

(2)

$s=p_{AB}+p_{BA}>0$ とおき、$x_*=p_{BA}/s$ とすれば、

$$x_{t+1}-x_*=(1-s)(x_t-x_*),$$

より

$$\boxed{x_t=x_*+(x_0-x_*)(1-s)^t}.$$

$0<s<2$ では $|1-s|<1$ なので $x_t\to x_*$ である。$s=2$、すなわち $p_{AB}=p_{BA}=1$ では

$$x_t=\frac12+\left(x_0-\frac12\right)(-1)^t$$

となり、$x_0=1/2$ の場合に限って収束する。$s=0$ の場合は $x_t=x_0$ である。

(3)

商店街外を第3の状態として、A・Bとの流入出確率を導入する。実際には来街者の出入りがあり、A・B内の総人数が一定とは限らないためである。

Reference

• 東京大学 都市工学専攻「過去問」
• 令和7年度 B）都市工学専門（公式PDF）