東京大学 工学系研究科 都市工学専攻 2024年8月実施 B-12 都市解析 問題1

标签：

• Tokyo-University
• Markov-Chain

Author

祭音Myyura (co-authored with GPT 5.6 SOL)

Description

時点 $t$ にスポット A, B にいる人数の比率を $x_t:1-x_t$ とする。A から B への遷移確率を $p_{AB}$、B から A への遷移確率を $p_{BA}$ とする。

1. $x_t$ の収束先を $x$ とするとき、$x,p_{AB},p_{BA}$ の関係を求めよ。
2. 初期値 $x_0$ に対する $x_t$ の一般項を求めよ。
3. モデルの具体的な改良を一つ、その理由とともに述べよ。

Kai

(1)

$$x_{t+1}=x_t(1-p_{AB})+(1-x_t)p_{BA}.$$

$x_{t+1}=x_t=x$ とおけば

$$\boxed{x=\frac{p_{BA}}{p_{AB}+p_{BA}}}.$$

(2)

$$x_{t+1}-x=(1-p_{AB}-p_{BA})(x_t-x),$$

より

$$\boxed{x_t=x+(x_0-x)(1-p_{AB}-p_{BA})^t}.$$

(3)

商店街外を第3の状態として、A・Bとの流入出確率を導入する。実際には来街者の出入りがあり、A・B内の総人数が一定とは限らないためである。

Reference

• 東京大学 都市工学専攻「過去問」
• 令和7年度 B）都市工学専門（公式PDF）